§ 44: 44.59 (1-2)

44.59 Доведіть тотожність:

1) cos3α – cos4α – cos5α + cos6α = –4sinα2sinαcos9α2;

cos3α – cos4α – cos5α + cos6α = +2sin4αsinα – 2sinαsin5α = +2 sinα(sin4α – sin5α) = –2sinα • 2sinα2cos9α2 = –4sinα2 • sinαcos9α2.

2) 2(sin2α+2cos2 α-1)cosα- sinα- cos3α+ sin3α = 1sinα;

2(sin2α+2cos2α-1)cosα- sinα- cos3α+ sin3α = 2(sin2α+ cos2α)+2sin 2α • sinα+2sinα • cos2α = 2(sin 2α+ cos2α)2 sinα(sin2α+ cos2α)⁡ = 1sinα.

3) (cosα – cosβ)² + (sinα – sinβ)² = 4sin²α- β2;

(cosα – cosβ)² + (sinα – sinβ)² = cos²α – 2cosα cosβ + cos²β + sin²α – 2sinαsinβ + sin²β = 1 + 1 – 2(cosαcosβ + sinαsinβ) = 2(1 – cos(α – β)) = 4sin²α- β2.

4) sinα + sinβ + sin(α – β) = 4sinα2cosβ2 cosα- β2;

sinα + sinβ + sin(α – β) = 2sinα+ β2cosα- β2 + 2sinα- β2cosα- β2 = 2cosα- β2(sinα+ β2 + sinα- β2) = 2cosα- β2 • 2sinα2 cosβ2 = 4sinα2cosβ2cosα- β2.

5) sin 2α • cos 4α(1+ cos 2α)(sin 3α+ sinα)(cos3α+ cos5α) = 12;

sin2α cos4α(1+ cos2α)(sin3α+ sinα)(cos3α+ cos5α) = sin2α cos4αcos2α2sin 2α • cosα • 2cos 4α cosα = 12;

6) sin²(15π8 – 2) – cos²(17π8 – 2) = –cos4α2;

sin²(15π8 – 2) – cos²(17π8 – 2) = 1- cos(15π4 -4)2⁡ – 1+ cos(17π4 -4)2 = 1-cos15π4 -4-1- cos(17π4 -4)2 = –cos15π4 -4+ cos(17π4 -4)2 = –2cos 15π4 - 4α + 17π4 - 4α2 cos15π4 - 4α - 17π4 + 4α 22 = –cos(4π – 4α) • cos(–π4) = –cos4α • 12 = –cos4α2.