§ 38: 38.27

38.27 Дві перпендикулярні дотичні до графіка функції f (x) = 3 – 12x²

перетинаються в точці A, яка належить осі ординат. Знайдіть

координати точки A.

Нехай дотичні проведені до графіка функції f(x) в точках з

абсцисами х₁ і х₂. Складемо рівняння цих дотичних.

f’(x) = –12 • 2x = –x; f’(x₁) = –х₁; f’(x₂) = –x₂.

y = –x₁(x – x₁) + 3 + 12 x12; y = –x₁x + x12 + 3 – 12 x12;

y = –x₁x + 3 + 12 x12 – рівняння першої дотичної.

Аналогічно, у = –х₂х + 3 + 12 х22 – рівняння другої дотичної. Точка перетину дотичних має координати (0; у), тоді –х₁ • 0 + 3 + 12х12 = –х₂ • 0 + 3 + 12 х22, звідки х12 = х22. Оскільки дотичні за умовою перпендикулярні, то (–х₁) • (–х₂) = –1, де –х₁ і х₂ – їхні кутові коефіцієнти. Звідси х₂ = –1х1, тоді х12 = 1х12; х14 = 1; х₁ = ±1, а х₂ = ±1.

Тобто одна з дотичних проходить через точку з абсцисою 1, друга – з абсцисою –1. Розглянемо першу дотичну, її рівняння:

y = –x + 3 + 12 • 1²; y = –x + 312.

Шукана точка А належить осі ординат, тому її абсциса дорівнює нулю. Тоді у = –0 + 312; у = 312. Отже, А (0; 312).