§ 25: 25.45 (1-2)

25.45 Спростіть вираз:

1) 0,5+0,5 0,5+0,5 cosα = 12+121+cosα2 = 12+ 12cos2α2 = 12+ 12|cosα2| = 12+ 12cosα2 = 1+cosα22 = cos2α4 = |cosα4| = cosα4.

Зауважимо, що 0 ≤ α2 ≤ π2, 0 ≤ α4 ≤ π4, тому cos α2 > 0, cos α4 > 0.

2) cosα1-cos2α – sinα1+cos2α = cosα2 • 1-cos2α2 – sinα2 • 1+cos2α2 = cosα2sin2α – sinα2cos2α = cosα|2 sinα| – sinα|2 cosα| = cosα2sinα – sinα2cosα = cos2α- sin2α2 sinα cosα = cos2α22 • sin2α = 2ctg2α.

3) 1+sinφ – 1-sinφ = sin2φ2+2sinφ2 cosφ2+cos2φ2 – sin2φ2-2sinφ2cosφ2+cos2φ2 = (sinφ2+cosφ2)2 –(sinφ2- cosφ2)2 = |sinφ2 + cosφ2| – |sinφ2 + cosφ2|, оскільки π2 < φ < π, π4 < φ2 < π2, то sinφ2 > 0, cos φ2 > 0, sinφ2 > cosφ2.

|sinφ2 + cosφ2| – |sinφ2 – cosφ2| = sinφ2 + cosφ2 – sinφ2 + cosφ2 = 2cosφ2.

Відповідь: 2cosφ2.