§ 25: 25.46 (1)

25.46 Спростіть вираз:

1) 2+ 2+2cos4α = 2+ 2(1+cos4α) = 2+ 2cos22α = 2+2|cos2α| = 2+2cos2α, якщо 0 ≤ α ≤ π4; =

2+2cos2α, якщо 0 ≤ α ≤ π4;

= 2(1+cos2α, якщо 0 ≤ α ≤ π4; =

2(1-2cos2α, якщо π4 ≤ α ≤ π2;

= 4cos2α, якщо 0 ≤ α ≤ π4; = 2 cos α, якщо 0 ≤ α ≤ π4;

4sin2α, якщо π4 ≤ α ≤ π2; 2 sin α, якщо π4 ≤ α ≤ π2.

2) 0,5+0,50,5+0,5 0,5+0,5 cosα = 0,5+0,50,5+0,5 0,5(1+ cosα = 0,5+0,50,5+0,5cos2α2 = 0,5+0,50,5+0,5|cosα2| = Оскільки

0 ≤ α ≤ π, то 0 ≤ α2 ≤ π2 ⇒ сos α2 > 0; = 0,5+0,50,5+0,5cosα2 = 0,5+0,50,5(1+cosα2) = 0,5+0,5 • cos2α4 = 0,5+0,5 •|cosα4| = cos α2 > 0; = 0,5(1+cosα4) = cos2α8 = |cosα8| = cosα8 > 0 = cosα8;

3) 1+sinφ – 1-sinφ|² ⇒ (1+sinφ – 1-sinφ)² = 1 + sinφ + 1 + sinφ – 21+sinφ • 1-sinφ = 2 – 21- sin2φ = 2 – 2cos2φ = 2 – 2|cosφ| = Оскільки π2 < φ < π, то cos φ < 0 = 2 + 2 cos φ = 2(1 + cosφ) = 4cos³φ2 ⇒ 1+sinφ – 1-sinφ|² = 4cos2φ2 = |2cosφ2| = Оскільки π2 < φ < π, то π4 < φ2 < π2 ⇒ cos φ2 > 0 = 2 cosφ2.