§ 25: 25.47

25.47 Обчисліть sin18°.

sin18° – ?

cos36° = cos(90° – 54°); cos36° = sin54°; cos(2 • 18°) = sin(3 • 18°); cos²18° – sin²18° = 3sin18° – 4sin³18°; 1 – 2sin²18° = 3sin18° – 4sin³18°; 4sin³18° – 2sin²18° – 3sin18° + 1 = 0. Нехай sin 18° = x.

Тоді 4x³ – 2x² – 3x + 1 = 0; x = 1 – корінь рівняння ⇒ 4x³ – 2x² – 3x + 1 = (x – 1) • Q(x). Знайдемо Q(x):

4x³ – 2x² – 3x + 1 x – 1

4x³ – 4x² 4x² + 2x – 1

2x² – 3x

2x² – 2x

–x + 1

–x + 1

0

Розв‘яжемо рівняння 4x² + 2x – 1 = 0;

D₁ = 1 + 4 = 5; x₁ = -1+ 54; x₂ = -1- 54. Тобто х = 1; х = 5- 14; х = -1- 54. Оскільки sin 18° = 1, то: sin 18° ≠ 1, бо sin 18° < sin 90°:

sin 18° ≠ -1- 54, бо sin 18° > 0. Тоді sin 18° = 5- 14.

Відповідь: sin 18° = 5- 14.