§ 25: 25.42

25.42 Доведіть, що:

1) tgα • tg(60° – α) • tg(60° + α) = tg3α.

Л. ч. = tgα • (tg60°- tgα1 + tg60° • tgα • tg60°+ tgα1- tg60° • tgα) = tgα(3-tgα1+ 3tgα • 3 + tgα1 - 3 + tgα) = tgα • 3 - tg1α1 - 3tg2α.

П. ч. = tg3α = sin3αcos3α = 3sinα - 4sin3α4cos3α - 3cosα = sinα(3 - 4sin2α)cosα(4cos2α - 3) = tgα • 3 - 3sin2α - sin2αcos2α + 3cos2α - 3 = 3cos2α - sin2α : cos2αcos2α - 3sin2α : cos2α = tgα • 3 - tg2α1 - 3tg2α = П. ч. Тотожність доведена.

2) tg20° • tg40° • tg80° = 3.

Л. ч. tg20° • tg40° • tg80° = tg20° • tg(60° – 20°) • tg(60° + 20°) = використаємо формулу п. 1 для α = 20°.

tg3 • 20° = tg60° = 3 = П. ч. Тотожність доведена.