§ 25: 25.43

25.43 Доведіть тотожність

sin3α • sin³α + cosЗα • cos³α = cos³2α.

Л. ч. = (3sinα – 4sin³α) • sin²α + (4cos² • α – 4cosα) • cos³α = 3 sin⁴α – 4sin⁶α + 4cos⁶α – 3cos⁴α = –3(cos⁴α – sin⁴α) + 4(cos⁶α – sin⁶α) = –3(cos²α – sin²α)(cos²α + sin²α) + 4(cos²α – sin²α) • (cos⁴α + cos⁴α • sin²α + sin⁴α) = –3cos2α + 4cos2α •

• (cos⁴α + cos²α • sin²α + sin⁴α) = cos2α • (4cos⁴α + 4cos²α • sin²α + 4sin⁴α – 3) = cos2α • (4 • (1 + cos2α)24 + 4 • 1+cos2α(1-cos2α)4 + 4 • (1 - cos2α)24 – 3) = cos2α • (1 + 2cos2α + cos²2α + 1 – cos²2α + 1 – 2cos2α + cos²2α – 3) = cos³2α = П. ч.

Тотожність доведена.