§ 23: 23.24 (1-2)

23.24 Знайдіть найбільше значення виразу:

1) 3cosα – sinα = 2(32cosα – 12sinα) = 2(cos30°cosα – sin30°sin α) = 2cos(30° + α); –1 ≤ cos (30° + α) ≤ 1; –2 ≤ 2 cos(30° + α) ≤ 2.

Найменше значення – –2.

2) 5 • сosα – 25 • sinα = 5(55cosα – 255sinα) = (Оскільки

(52)² + (252)² = 1, то 55 = сosβ; 255 = sinβ) = 5 • (cosβ • cosα – cosα – cosβ) ≤ 1| • 5 ⇒ 5cos(α + β) ≤ 5 ⇒ найбільше значення 5.

Відповідь: 5.

3) 3sinα + cosα = 10(310 • sinα + 110 • cosα) = (Оскільки (310)² + (110)² = 1, то: 310 = cosβ, 110 = sinβ = 10(sinα • cosβ + sinβ • cosα) = 10• sin(α + β).

–1 ≤ sin(α + β) ≤ 1| • 10 ⇒ – 10 ≤ 10sin(α + β) ≤ 10 ⇒ найбільше значення 10.

Відповідь: 10.