§ 23: 23.23 (1-2)

23.23 Знайдіть найбільше значення виразу:

1) sinα – 3cosα = 2(12sinα – 32cosα) = 2(sinαcos60° – cosαcos60°) = 2sin(α – 60°);

–1 ≤ sin(α – 60°) ≤ 1; –2 ≤ 2 sin(α – 60°) ≤ 2.

Найбільше значення – 2.

2) 4sinα + 5cosα = 41(441 sinα + 541cosα) = (Оскільки

(441)² + (541)² = 1, то): 441 = сosβ; 541 = sinβ = 41 • (sinα • cosβ + sinβ • cosα) = 41 • sin(α +β).

–1 ≤ sin(α + β)≤ 1| • 41 ⇒ –41 • sin(α + β) ≤ 41 ⇒ найбільше значення виразу = 41.

Відповідь: 41.

3) sinα + cosα = 2(22sinα + 22sinα) = 2(sinαcos45° + cosαsin45°) = 2sin(α + 45°);

–1 ≤ sin(α + 45°) ≤ 1; –2 ≤ 2 sin(α + 45°) ≤ 2.

Найбільше значення – 2.

4) 2sinα – cosα = 5(25 • sinα – 15 • cosα) = (Оскільки

(25)² + (15)² = 1, то 25 = сosβ; –15 = sinβ = 5 • (sinα • cosβ + sinβ • cosα) = 5 • sin(α +β).

–1 ≤ sin(α + β)≤ 1| • 5 ⇒ –5 ≤ 5sin(α + β) ≤ 5 ⇒ найбільше значення 5.

Відповідь: 5.