§ 14: 14.1 (1-2)

14.1 Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:

1) 2x+1 – 5 = 3x+1. Заміна: x+1 = t, t > 0.

2t – 5 = 3t; 2t2- 5t-3t = 0; 2t² – 5t – 3 = 0; D = 49; t_1,2 = 5 ±74; t₁ = 3; t₂ = –12.

–12 – не задовольняє умову t > 0.

x+1 = 3; x + 1 = 9; x = 8.

Перевірка: 28+1 – 5 = 38+1; 1 = 1 – правильно.

Відповідь: 8.

2) х² – х + 9 + х2- х+9 = 12. Заміна: х2- х+9 = t, t ≥ 0.

t² + t – 12 = 0; t₁ – 4; t₂ = 3.

–4 – не задовольняє умову t ≥ 0.

х2- х+9 = 3; x² – x + 9 = 0; x(x – 1) = 0; x₁ = 0; x₂ = 1.

Перевірка: х₁ = 0; 02 – ⁰ + 9 + 02- 0+9 = 12; 12 = 12 – правильно; х₁ = 1; 1² – 1 + 9 + 12- 1+9 = 12; 12 = 12 – правильно.

Відповідь: 0; 1.

3) х+5х-1 + 7х-1х+5 = 8; ОДЗ: х+5х-1 > 0; x ∈ (–∞; –5) ∪ (1; +∞).

Заміна: х+5х-1 = t; t > 0; х-1х+5 = 1t;

t + 7t = 8; t2+ 7-8tt = 0; t² – 8t + 7 = 0; t₁ = 1; t₂ = 7.

х+5х-1 = 1; х+5х-1 = 1; х+5-x+1х-1 = 0; 6х-1 = 0 – коренів немає;

х+5х-1 = 7; х+5х-1 = 49; х+5-49х+49х-1 = 0; -48х+54х-1 = 0;

х = 98, х = 118,

х ≠ 1; х ≠ 1.

Відповідь: 118.

4) х3х- 13х2- 1 – х3х2- 13х+ 1 = 4; ОДЗ: х ≠ 1; х ≠ –1.

(3х)4- 1(3х2)2- 1 – (3х)4- 13х- 1 = 4; ((3х)2- 1)((3х)2+ 1)((3х)2- 1) – 3х- 1(3х+ 1)(3х+ 1) = 4;

(3х)² + 1 – 3х + 1 = 4; (3х)² – 3х + 2 – 4 = 0; (3х)² – 3х – 2 = 0. Заміна; 3х = t. t² – t – 2 = 0; t₁ = –1; t₂ = 2.

3x = –1; x = –1 – не задовольняє ОДЗ; 3х = 2; х = 8.

Відповідь: 8.