§ 14: 14.2 (1-3)

14.2 Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:

1) х+5 – 34х+5 + 2 = 0; ОДЗ; х + 5 ≥ 0; х ≥ – 5.

Заміна: 4х+5 = t,

t ≥ 0; х+5 = t².

t² – 3t + 2 = 0; t₁ = 1; t₂ = 2;

4х+5 = 1; x + 5 = 1; x = –4; 4х+5 = 2; x + 5 = 16; x = 11.

Відповідь: –4; 11.

2) 69-6х+ х2 + 263-х – 8 = 0; ОДЗ: 3 – х ≥ 0, х ≤ 3. 6(3-х)2 + 263-х = t, t ≥ 0.

t² + 2t – 8 = 0; t₁ = –4; t₂ = 2; –4 – не задовольняє умову t ≥ 0;

63-x = 2; 3 – x = 64; x = –61.

Відповідь: –61.

3) х² – х + х2- х+4 = 6.

Заміна: х2- х+4 = t, t ≥ 0.

t² + t – 6 = 0; t₁ = –3; t₂ = 2;

–3 – не задовольняє умову t ≥ 0; х2- х+4 = 2; x² – x + 4 = 4;

x(x – 1) = 0; x₁ = 0; x₂ = 1.

Перевірка: х₁ = 0; 0² – 0 + 4 + 02 – 0 + 4 = 6; 6 = 6 – правильно;

х₂ = 1; 1² – 1 + 4 + 12- 1+4 = 6; 6 = 6 – правильно.

Відповідь: 0; 1.

4) 3х+22х-3 + 2х-33х+2 = 2,5; ОДЗ: 3х+22х-3 > 0; x ∈ (–∞; –23) ∪ (1,5; +∞).

Заміна: 3х+22х-3 = t; 2х-33х+2 = 1t; t > 0.

t + 1t = 52; t2- 5t+2t = 0; t² – 5t + 2 = 0, D = 9; t₁ = 12; t₂ = 2.

t ≠ 0;

3х+22х-3 = 12; 3х+22х-3 – 14 = 0; 12x+8-2x+32x-3 = 0; 10x+112x-3 = 0; x = –1,1,

x ≠ 1,5.

3х+22х-3 = 2; 3х+22х-3 – 4 =0; 3x+2-8x+122x-3 = 0;

-5x+142x-3 = 0; 5x + 14 = 0, x = 2,8,

2x – 3 ≠ 0; x ≠ 1,5.

Відповідь: –1,1; 2,8.