§ 14: 14.3 (1)

14.3 Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:

1) х2- 3х+5 + х² = 3х + 7; х2- 3х+5 + х² – 3х + 5 – 12 = 0.

Заміна: х2- 3х+5 = t, t ≥ 0.

t² + t – 2 = 0; t₁ = –4; t₂ = 3;

–4 – не задовольняє умову t ≥ 0;

х2- 3х+5 = 3; x² – 3x – 4 = 0; x₁ = –1; x₂ = 4.

Перевірка: х₁ = –1; (-1)2- 3 •-1+ 5 + (–1)² = 3 • (–1) + 7;

4 = 4 – правильно; х₂ = 4; 42- 3х+5 + 4² = 3 • 4 + 7;

19 = 19 – правильно;

Відповідь: –1; 4.

2) 3х2- 9х-26 = 12 + 3х – х². Заміна: 3х2- 9х-26 = t, t ≥ 0;

3x² – 9x – 26 = t²; 3x² – 9x – 36 + 10 = t²; 3(x² – 3x – 12) = t² – 10;

x² – 3x – 12 = t2- 103; t = (t2- 10)3;

3t + t² – 10 = 0; t² + 3t – 10 = 0; t₁ = –5; t₂ = 2.

–5 – не задовольняє умову t ≥ 0.

3х2- 9х-26 = 2; 3x² – 9x – 26 = 4; 3x² – 9x – 30 = 0;

x² – 3x – 10 = 0; x₁ = –2; x₂ = 5.

Перевірка: х₁ = –2; 3(-2)2- 9-2- 26 = 12 + 3(–2) – (–2)²;

2 = 2 – правильно;

х₂ = 5; 3 • 52- 9 •5-26 = 12 + 3 • 5 – 5²; 2 = 2 – правильно.

Відповідь: –2; 5.

3) 2х² + 6х – 3х2+ 3х-3 = 5. ОДЗ: х² + 3х – 3 ≥ 0;

х ∈ (–∞; – -3- 212) ∪ (–-3- 212; +∞). Заміна: х2+ 3х-3 = t,

t ≥ 0;

x² + 3x – 3 = t²; 2x² + 6x – 6 = 2t²; 2x³ + 6x = 2t² + 6;

2t² + 6 – 3t – 5 = 0; 2t² – 3t + 1 = 0; D = 1; t₁ = 12; t₂ = 1;

х2+ 3х-3 = 12; x² + 3x – 3 = 14; 4x² + 12x – 13 = 0;

D: x₁ = -12+4228 = -3+ 222; x₂ = -3- 222 – не задовольняє ОДЗ;

х2+ 3х-3 = 1; х² + 3 – 3 = 1; х² + 3х – 4 = 0; х₁ = –4; х₂ = 1.

Перевірка: х₁ = –4; 5 = 5 – правильно; х₂ = 1; 5 = 5 – правильно.

Відповідь: –4; 1.

4) х5х + 5хх = 72; 10х6 + 10х3 = 72; (10х3)³ + 10х3 – 72 = 0.

Заміна: 10х3 = t, t ≥ 0.

t² + t – 72 = 0; t₁ = –9; t₂ = 8.

–9 – не задовольняє умову t ≥ 0; 10х3 = 8; x⁸ = (2³)¹⁰; x = 2¹⁰ = 1024.

Перевірка: 102451024 + 510241024 = 72; 72 = 72.

Відповідь: 1024.