§ 13: 13.14 (1)

13.14 Розв’яжіть рівняння:

1) х-1-2х-2 + х+7-6х-2 = 2;

х-2+2-1-2х-2 = х-2-2х-2+1 =(х-2-1)2 = |х-2 – 1|;

х+7-6х-2 = х-2+2+7-6х-2 = х-2-6х-2+9 = (х-2-3)2 = |х-2 – 3|.

Тоді маємо рівняння |х-2 – 1| + |х-2 – 3| = 2. Нулі під модульних функцій: х-2 – 1 = 0; х-2 – 1 = 1; х – 2 = 1, х = 3; х-2– 3 = 0; х-2 = 3; х – 2 = 9, х = 11. Розв'яжемо рівняння на проміжках:

І. 2 ≤ х ≤ 3, тоді маємо рівняння 1 – х-2 + 3 – х-2 = 2;

2х-2 = 2; х-2 = 1; х – 2 = 1, х = 3.

ІІ. 3< х ≤ 11, тоді маємо рівняння х-2 – 1 – х-2 + 3 = 2; 2 = 2, отже, х – будь–яке число з (3; 11].

ІІІ. х > 11, тоді маємо рівняння х-2 – 1 + х-2 + 3 = 2;

2х-2 = 6; х-2 = 3; х – 2 = 9, х = 11. Отже, корені рівняння – х ∈ [3; 11].

2) x+3-4x-1 = x-1- 4x-1+ 4 = (x-1- 2)2 = |x-1 – 2|;

x+8-6x-1 = x-1- 6x-1+ 9 = (x-1- 3)2 = |x-1 – 3|.

Розв‘язання заданого рівняння зводиться до розв’язання рівняння

|x-1 – 2| + |x-1 – 3| = 1.

3) x+2+2x+1 = x+1+ 2x+1+ 1 = (x+1+ 1)2 = |x+1 – 1|;

x+5-4x+1 = (x+1- 2)2 = |x+1 – 2|.

Розв‘язання заданого рівняння зводиться до розв’язання рівняння

|x+1 + 1| – |x+1 – 2| = 3.