Вправи для повторення розділу 3: 39

39. Доведіть, що $\overline{\mathrm{MA}}$ + $\overline{\mathrm{MB}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{MC}}$ = $\vec{0}$, де M – точка перетину

медіан трикутника ABC.

Розглянемо ∆ВМС: МN — медіана ∆ВМС, тоді $\overline{\mathrm{MN}}$ = $\frac{1}{2}$($\overline{\mathrm{MB}}$ + $\overline{\mathrm{MC}}$)

( $\overline{\mathrm{MN}}$ — половина діагоналі паралелограма, побудованого на сторонах МВ і МС). Тоді $\overline{\mathrm{MB}}$ + $\overline{\mathrm{MC}}$ = 2$\overline{\mathrm{MN}}$.

За властивістю точки перетину медіан трикутника: |$\overline{\mathrm{AM}}$| = $\frac{2}{3}$|$\overline{\mathrm{AN}}$|;

|$\overline{\mathrm{MN}}$| = $\frac{1}{3}$|$\overline{\mathrm{AN}}$|. Звідси |$\overline{\mathrm{AM}}$| = 2|$\overline{\mathrm{NM}}$| і |$\overline{\mathrm{MA}}$| = –2|$\overline{\mathrm{NM}}$|.

Тоді $\overline{\mathrm{MA}}$ + $\overline{\mathrm{MB}}$ + $\overline{\mathrm{MC}}$ = $\overline{\mathrm{MA}}$ + ($\overline{\mathrm{MB}}$ + $\overline{\mathrm{MC}}$) = $\overline{\mathrm{MA}}$ + $\overline{2\mathrm{MN}}$ = –$\overline{2\mathrm{MN}}$ + $\overline{2\mathrm{MN}}$ = $\bar{0}$.