Відповіді до вправ підручника: 5.51

5.51. Дано квадрат розміром 99 х 99 клітинок. Кожну клітинку квадрата пофарбовано в чорний або в білий колір. Дозволяється одночасно перефарбувати всі клітинки деякого стовпця або деякого рядка в той колір, клітинок якого в цьому стовпці або в цьому рядку до перефарбовування було найбільше. Чи завжди можна добитися того, щоб усі клітинки квадрата стали однакового кольору?

Так, завжди.

Спочатку перефарбуємо кожний рядок у колір, якого в ньому більше. Оскільки 99 — непарне число, такий колір завжди є. Отримаємо 99 одноколірних рядків.

Серед них щонайменше 50 мають однаковий колір, наприклад чорний. Тоді в кожному стовпці щонайменше 50 чорних клітинок.

Перефарбуємо кожний стовпець у чорний колір. Усі клітинки квадрата стануть чорними. Якщо переважають білі рядки, аналогічно отримаємо білий квадрат.