Відповіді до вправ підручника: 19.33

19.33. У рівнобедрений трикутник вписано коло. Точка дотику ділить бічну сторону трикутника у відношенні 25 : 12, рахуючи від вершини рівнобедреного трикутника. Знайдіть радіус вписаного кола, якщо площа трикутника дорівнює 1680 см².

∆АВС — рівнобедрений, АВ = ВС. М, М₁, М₂ — точки дотику вписаного кола.

ВМ₁ : М₁С = ВМ : МА = 25 : 12.

М₁С = M₂С = 12x; АМ = АМ₂ = 12х;

ВМ = ВМ₁ = 25x; АВ = ВС = 37х;

АС = 24x; Р_∆ABC = 98х.

S_∆ABC = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ = $\sqrt{\frac{98x}{2}(49x-37x)(49x-37x)(49x-24x)}$ = $\sqrt{49x•12x•12x•25x}$ = 420x²; 420х² = 1680; х² = 4; x = 2.

P_∆ABC = 98 • 2 = 196 (см).

ОМ₁ = ОМ₂ = ОМ — r – радіус вписаного кола.

r = $\frac{{2S}_{∆\mathrm{ABC}}}{P}$ = $\frac{2•1680}{196}$ = $\frac{120}{7}$ (см).

Відповідь: $\frac{120}{7}$ см.