Відповіді до вправ підручника: 17.37

17.37. Доведіть, що чотирикутник з вершинами A (–3; –4), B (0; 3),

C (7; 6) і D (4; –1) є ромбом, і знайдіть його площу.

АВСD — ромб, АС і ВD — діагоналі. $\overline{\mathrm{BD}}$ (4; –4); $\overline{\mathrm{AC}}$ (10; 10).

$\overline{\mathrm{BD}}$ • $\overline{\mathrm{AC}}$ = 4 • 10 + (–4) • 10 = 40 – 40 = 0.

Якщо скалярний добуток дорівнює нулю, то діагоналі перпендикулярні.

|$\overline{\mathrm{AB}}$| = $\sqrt{9+49}$ = $\sqrt{58}$;

|$\overline{\mathrm{BC}}$| = $\sqrt{9+49}$ = $\sqrt{58}$;

|$\overline{\mathrm{CD}}$| = $\sqrt{9+49}$ = $\sqrt{58}$;

|$\overline{\mathrm{AD}}$| = $\sqrt{9+49}$ = $\sqrt{58}$.

У чотирикутника всі сторони рівні. АВСD — ромб.

Знайдемо довжини діагоналей.

|$\overline{\mathrm{BD}}$| = $\sqrt{16+18}$ = 4$\sqrt{2}$;

|$\overline{\mathrm{AC}}$| = $\sqrt{100+100}$ = 10$\sqrt{2}$.

S_ромба = $\frac{\mathrm{BD}•\mathrm{AC}}{2}$ = $\frac{4\sqrt{2}•10\sqrt{2}}{2}$ = 40.