§ 19: 19.39

19.39. У рівнобедрений трикутник вписано коло. Точка дотику ділить бічну сторону трикутника у відношенні 25 : 12, рахуючи від вершини рівнобедреного трикутника. Знайдіть радіус вписаного кола, якщо площа трикутника дорівнює 1680 см².

∆АВС — рівнобедрений, АВ = ВС. М, М₁, М₂ — точки дотику вписаного кола. ВМ₁ : М₁С = ВМ : МА = 25 : 12. М₁С = M₂С = 12x; АМ = АМ₂ = 12х; ВМ = ВМ₁ = 25x; АВ = ВС = 37х; АС = 24x;

Р_∆ABC = 98х.

S_∆ABC = p(p- a)(p- b)(p- c) =

= 98x2(49x-37x)(49x-37x)(49x-24x) =

= 49x•12x•12x•25x = 420x²; 420х² = 1680; х² = 4; x = 2.

P_∆ABC = 98 • 2 = 196 (см).

ОМ₁ = ОМ₂ = ОМ — r – радіус вписаного кола.

r = 2S∆ABCP = 2•1680196 = 1207 (см).

Відповідь: 1207 см.