Вправи для повторення розділу 5: 71

71. Знайдіть відношення площ трикутника і трапеції, на які трикутник ділиться прямою, проведеною через точку перетину медіан паралельно одній з його сторін.

В ∆АВС М – точка перетину медіан, РК ∥ АС.

S_∆ABC = $\frac{1}{2}$BC • BC • sin B.

За властивістю медіан трикутника

BM : MN = 2 : 1. Тоді за теоремою Фалеса

$\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}$ = $\frac{\mathrm{BK}}{\mathrm{KC}}$ = $\frac{2}{1}$. S_APKC = S_∆ABC – S_∆PBK;

S_∆PBK = $\frac{1}{2}$PB • BK • sinB = $\frac{1}{2}$ • $\frac{2}{3}$AB • $\frac{2}{3}$BC •

• sin B = $\frac{2}{9}$AB • BC • sin B.

S_APKC = $\frac{1}{2}$AB • BC • sinB – $\frac{2}{9}$AB • BC • sin B = ($\frac{1}{2}$ – $\frac{2}{9}$)AB • BC • sin B = $\frac{5}{18}$AB • BC • sin B.

Тоді $\frac{S_{∆\mathrm{PBK}}}{S_{\mathrm{APKC}}}$ = $\frac{\frac{2}{9}\mathrm{AB}•\mathrm{BC}•\sin B}{\frac{5}{18}\mathrm{AB}•\mathrm{BC}•\sin B}$ = $\frac{2}{9}$ • $\frac{18}{5}$ = $\frac{4}{5}$.

Відповідь: 4 : 5.