Вправи для повторення розділу 5: 29

29. Точки A і B лежать по один бік від прямої l. Знайдіть на цій прямій таку точку C, щоб значення суми AC + CB було найменшим.

Якби точки А і В лежали по різні боки від прямої l, то найкоротшою

відстанню між точками А і В, був би відрізок АВ, а шукана точка С —

точка перетину АВ і l. Дійсно, для будь–якої іншої точки С’ за нерівністю трикутника АС + СВ = АВ < АС’ + С’В. Тоді у випадку, коли точки А і В лежать по один бік від прямої І, замінимо точку на точку В’, симетричну відносно прямої l. Тоді для будь–якої точки С прямої l відстані СВ і СВ’ будуть рівними. Тому сума АС’ + С’В буде найменшою тоді і тільки тоді, коли найменшою буде рівна їй сума АС’ + С’В’.

Як ми встановили, сума АС’ + С’В’ є найменшою у випадку, коли точки А, В’ і С’ лежать на одній прямій, тобто С — точка перетину відрізка АВ’ з прямою l.