Вправи для повторення розділу 5: 28

28. Доведіть, що фігура, яка має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії, має і центр симетрії.

Нехай а і b — дві взаємно перпендикулярні осі симетрії деякої фігури, М — деяка її точка.

Тоді існує точка М’, симетрична точці М відносно осі а. ММ’ $\perp$ а, МК = КМ’. Тоді ∆ОМК = ∆ОМ’К за двома катетами (ОК — спільний катет), з рівності трикутників ОМ = ОМ’. Аналогічно існує точка М”, симетрична точці М’ відносно осi b.

М"М’ $\perp$ b, М’Р = РМ”. Тоді ∆М’ОР = ∆М"ОР за двома катетами, звідки

ОМ’ = ОМ”. Отже, ОМ = ОМ’, ОМ’ = ОМ", тоді ОМ = ОМ”.

Точки М, О і М” лежать на одній прямій, бо $\angle$KОМ’ + $\angle$М’ОР = 90°,

$\angle$МОМ” = 2($\angle$КОМ’ + $\angle$М’ОР) = 180°. А це означає, що точки М і М”

симетричні відносно точки О.