Вправи для повторення розділу 1: 35

35. Доведіть, що чотирикутник з вершинами в точках A(1; 0),

B(4; –4), С(8; –1) і D(5; 3) є квадратом.

А(1; 0), В(4; –4), С(8; –1), D(5; 3).

О — середина АС; O($\frac{1+8}{2}$; $\frac{-4+3}{2}$); O($\frac{9}{2}$; –$\frac{1}{2}$);

О₁ — середина ВD; O₁($\frac{4+5}{2}$; $\frac{-4+3}{2}$); O₁($\frac{9}{2}$; –$\frac{1}{2}$).

О і O₁ збігаються.

Діагоналі трикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл. Отже, АВСD — паралелограм.

АС = $\sqrt{{(8-1)}^2+{(-1-0)}^2}$ = $\sqrt{50}$ = 5$\sqrt{2}$;

ВD = $\sqrt{{(5-4)}^2+{(3+4)}^2}$ = $\sqrt{50}$ = 5$\sqrt{2}$.

АС = ВD. Отже, АВСD — прямокутник або квадрат.

Знайдемо довжини сусідніх сторін.

АВ = $\sqrt{{(4-1)}^2+{(-4-0)}^2}$ = 5;

ВС = $\sqrt{{(8-4)}^2+{(-1+4)}^2}$ = 5. Вони рівні.

Отже, АВСD — квадрат.