Відповіді на вправи § 25 - 33: 28.19

28.19. У трапеції ABCD AD і BC – основи, кути A і D – гострі. Бісектриси кутів А і D перетинаються в точці K, що належить стороні BC, AK = $\sqrt{5}$ см, KD = $\sqrt{10}$ см. Знайдіть периметр трапеції, якщо її висота дорівнює 1 см.

Дано: ABCD – трапеція; AK, DK – бісектриси; АК = $\sqrt{5}$ см; KD = $\sqrt{10}$ см,

КР = 1 см. Знайти: P_ABCD.

Розв’язання

$∆$APK ($\angle$P = 90$°$):

AP = $\sqrt{{\mathrm{AK}}^2-{\mathrm{KP}}^2}$ = $\sqrt{{\left(\sqrt{5}\right)}^2-1^2}$ = $\sqrt{5-1}$ = $\sqrt{4}$ = 2 (см). tg $\angle$KAP = $\frac{\mathrm{KP}}{\mathrm{AP}}$ = $\frac{1}{2}$ = 0,5; $\angle$KAP = 26$°$;

$\angle$BAK = $\angle$KAP = 26$°$. $∆$DPK ($\angle$P = 90$°$):

DP = $\sqrt{{\mathrm{KD}}^2-{\mathrm{KP}}^2}$ = $\sqrt{{\left(\sqrt{10}\right)}^2-1^2}$ = $\sqrt{10-1}$ = $\sqrt{9}$ = 3 (см).

tg $\angle$KDP = $\frac{\mathrm{KP}}{\mathrm{DP}}$ = $\frac{1}{3}$ = 0,3333; $\angle$KDP = 18$°$; $\angle$CDK = $\angle$KDP = 18$°$.

За властивістю бісектриси: АВ = ВК, тоді $∆$АВК – рівнобедрений.

$\angle$BAK = $\angle$BKA = 26$°$.

$\angle$B = 180$°$ – ($\angle$BAK + $\angle$BKA) = 180$°$ – (26$°$ + 26$°$) = 128$°$.

У $∆$АВК за теоремою синусів:

$\frac{\mathrm{BK}}{\sin \mathrm{BAK}}$ = $\frac{\mathrm{AK}}{\sin B}$; BK = $\frac{\mathrm{AK}•\sin \mathrm{BAK}}{\sin B}$ = $\frac{\sqrt{5}•\sin 26°}{\sin 128°}$ = $\frac{\mathrm{2,24}•\mathrm{0,4384}}{\mathrm{0,7880}}$ = 1,25 (см), АВ = ВК = 1,25 см.

За властивістю бісектриси: CD = KC, тоді $∆$DCK – рівнобедрений;

$\angle$CDK = $\angle$CKD = 18$°$.

$\angle$C = 180$°$ – ($\angle$CDK + $\angle$CKD) = 180$°$ – (18$°$ + 18$°$) = 144$°$.

У $∆$KCD за теоремою синусів:

$\frac{\mathrm{KC}}{\sin \mathrm{CDK}}$ = $\frac{\mathrm{KD}}{\sin C}$; KC = $\frac{\mathrm{KD}•\sin \mathrm{CDK}}{\sin C}$ = $\frac{\sqrt{10}•\sin 18°}{\sin 144°}$ = $\frac{\mathrm{3,16}•\mathrm{0,3090}}{\mathrm{0,5878}}$ =

= 1,66 (см), CD = KC = 1,66 см.

P_ABCD = AD + AB + BC + CD = AD + AB + BK + KC + CD = 5 + 1,25 + 1,25 + 1,66 + 1,66 = 10,8 (см).

Відповідь: 10,8 см.