Відповіді на вправи § 25 - 33: 28.21

28.21. Доведіть, що трикутник прямокутний.

Дано: h₁, h₂, h₃ – висоти трикутника.

($\frac{h_1}{h_2}$)² + ($\frac{h_1}{h_3}$)² = 1.

Довести: трикутник – прямокутний.

Доведення

S$∆$ = $\frac{1}{2}$ah.

h₁ = $\frac{2S}{a}$; h₂ $\frac{2S}{b}$; h₃ = $\frac{2S}{c}$.

$\frac{h_1}{h_2}$ = $\frac{2S•b}{a•2S}$ = $\frac{b}{a}$; $\frac{h_1}{h_3}$ = $\frac{2S•c}{a•2S}$ = $\frac{c}{a}$.

($\frac{h_1}{h_2}$)² + ($\frac{h_1}{h_3}$)² = 1.

($\frac{b}{a}$)² + ($\frac{c}{a}$)² = 1 |• a²

b² + c² = a²

За оберненою теоремою Піфагора трикутник є прямокутним.