Відповіді на вправи § 18 - 24: 23.42

23.42. Бісектриси внутрішнього і зовнішнього кутів при вершині C трикутника ABC перетинають пряму AB у точках L і M відповідно.

Доведіть, що якщо CL = CM, то AC² + BC² = 4R², де R – радіус кола, описаного навколо трикутника ABC.

Нехай ∠ВСА = 2α, тоді ∠ВСL = ∠АСL = α.

∠LCM = 90° як кут між бісектрисами суміжних кутів, LС = СМ за умовою, тому ∠СLМ = ∠СМL = 45°.

У ∆LВС ∠CBL = 180° – (∠BLC + ∠BCL) = 180° – (45° + α) = 135° – α, тоді ∠BAC = 180° – (∠ABC + ∠BCA) = 180° – (135° – α + 2α) = 45° – α.

За узагальненою теоремою синусів $\frac{\mathrm{AC}}{\sin \mathrm{CBA}}$ = 2R, АС = 2R sin(135° – α) = 2R cos(45° – α). Аналогічно ВС = 2R sin(45° – α).

АС² + ВС² = (2R cos(45° – α))² + (2R sin(45° – α))² = 4R² • cos²(45° – α) + 4R² • sin²(45° – α) = 4R²(соs²(45° – α) + sin²(45° – α)) = 4R². Отже, АС² + ВС² = 4R².