Відповіді на вправи § 18 - 24: 23.30

23.30. Чи подібні два ромби, якщо в одного з них менша діагональ

дорівнює стороні, а в другого – більша діагональ у $\sqrt{3}$ разів більша за сторону?

Нехай АВСD і А’В’С’D’ – ромби. АВ = BD,

А’С’ = $\sqrt{3}$А’D’. Тоді ∆АBD — рівносторонній.

Нехай АВ = ВС = СD = АD = ВD = а. ∠ADC = 180° – ∠ВАD = 180° – 60° = 120°. З ∆АСD: за теоремою косинусів

АС² = AD² + CD² – 2AD • CD • cos 120° = а² + а² + 2а² • $\frac{1}{2}$ = За²,

АС = $\sqrt{{3a}^2}$ = а$\sqrt{3}$. Отже, АС = $\sqrt{3}$АD якщо АВ = ВD.

Тоді і у ромбі АВ’С’D’ А’В’ = В’D’. Сторони і діагоналі ромбів пропорційні, тоді АВСD ~ А’В’С’D’.

Відповідь: так.