Відповіді на вправи § 18 - 24: 20.23

20.23. Дано три ненульових вектори $\vec{a}$, $\vec{b}$ і $\vec{c}$, які попарно неколінеарні. Довести, що коли вектор $\vec{a}$ + $\vec{b}$ колінеарний вектору $\vec{c}$, а вектор $\vec{b}$ + $\vec{c}$ колінеарний вектору $\vec{a}$, то вектор $\vec{a}$ + $\vec{c}$ колінеарний вектору $\vec{b}$. Знайдіть суму векторів $\vec{a}$ + $\vec{b}$ + $\vec{c}$.

Побудуємо суму векторів $\bar{a}$ і $\bar{b}$ за правилом паралелограма. $\overline{AC}$ = $\bar{a}$ + $\bar{b}$. За умовою вектор $\bar{a}$ + $\bar{b}$ колінеарний вектору $\bar{c}$, тобто $\overline{AC}$ ∥ $\bar{c}$. Вектор $\bar{b}$ + $\bar{c}$ колінеарний вектору $\bar{a}$. Якщо $\bar{c}$ ⇈ ($\bar{a}$ + $\bar{b}$), то це неможливо (пунктир на рисунку), бо вектор $\bar{b}$ + $\bar{c}$ = $\bar{c}$ + $\bar{b}$ має з вектором $\bar{a}$ спільну точку, але вони не лежать на одній прямій, бо за умовою $\bar{a}$ і $\bar{c}$ не колінеарні. Отже, вектори $\bar{a}$ + $\bar{b}$ і $\bar{c}$ різнонапрямлені. Тоді $\overline{\mathrm{DC}}$ = $\bar{c}$ + $\bar{b}$, ($\bar{c}$ + $\bar{b}$) ⇈ $\bar{a}$. Оскільки ВС = АD, ВС ∥ AD, то АВ = DС, АВ ∥ DС. Тоді

$\bar{c}$ = $\overline{CA}$ = –($\bar{a}$ + $\bar{b}$). $\bar{a}$ + $\bar{c}$ = $\bar{c}$ + $\bar{a}$ = $\overline{\mathrm{BC}}$ = $\overline{b\text{'}}$, $\overline{b\text{'}}$ = $\bar{b}$, значить,

$\bar{a}$ + $\bar{c}$ ∥ $\bar{b}$. Оскільки $\bar{a}$ + $\bar{b}$ = –$\bar{c}$, то $\bar{a}$ + $\bar{b}$ + $\bar{c}$ = 0.

Відповідь: $\bar{a}$ + $\bar{b}$ + $\bar{c}$ = 0.