Відповіді на вправи § 18 - 24: 19.22

19.22. Знайдіть довжини сторін AB і AC трикутника ABC, якщо BC = 8 см, а довжини висот, проведених до AC і BC, дорівнюють

відповідно 6,4 см і 4 см. Скільки випадків слід розглянути?

∆AKC ~ ∆BPC за гострим кутом (∠С – спільний).

$\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}}$ = $\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AK}}$; AC = $\frac{\mathrm{BC}•\mathrm{AK}}{\mathrm{BP}}$ = $\frac{8•4}{\mathrm{6,4}}$ = 5 (см).

З ∆ВРС: sin C = $\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{BC}}$ = $\frac{\mathrm{6,4}}{8}$ = 0,8.

Тоді cos C = $\sqrt{{1-\sin }^{2}C}$ = ±$\sqrt{1-\mathrm{0,64}}$ = ± 0,6.

З ∆АВС за теоремою косинусів:

AB = $\sqrt{{\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BC}}^2-2\mathrm{AC}•\mathrm{BC}•\cos C}$ = $\sqrt{8^2+5^2-2•8•5•\mathrm{0,6}}$ = $\sqrt{64+25-48}$ = $\sqrt{41}$ (см) або

АВ = $\sqrt{8^2+5^2-2•8•5•\mathrm{0,6}}$ = $\sqrt{64+25+48}$ = $\sqrt{137}$ (см).

Відповідь: АС = 5 см, АВ = $\sqrt{41}$ см або АВ = $\sqrt{137}$ (см).