Відповіді на вправи § 15 - 17

Відповіді на вправи § 15 - 17: 17.42

Готова відповідь до завдання 17.42 з ГДЗ Геометрія 9 клас Істер 2026.

Геометрія, 9 клас · Відповіді на вправи § 15 - 17

17.42 (Всеукраїнська математична олімпіада, 1985 р.) Точки A, B, C і D є вершинами опуклого чотирикутника. П’ять із шести можливих — ГДЗ Геометрія 9 клас Істер 2026

Текстова відповідь

17.42 (Всеукраїнська математична олімпіада, 1985 р.) Точки A, B, C і D є вершинами опуклого чотирикутника. П’ять із шести можливих відстаней між парами цих точок дорівнюють 1, 1, $\sqrt{3}$ , $\sqrt{3}$ . Знайдіть шосту відстань.

Нехай А, В, С, 23 — довільні точки.

АВ = 1 см; ВС = 1 см; АD = $\sqrt{3}$ см; СD = 3 см. Знайти: BD.

З ∆ACD: cos∠ACD = $\frac{3^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}{2 • 3 • \sqrt{3}}$ = $\frac{9}{6 \sqrt{3}}$ = $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , тоді ∠ACD = 30°.

З ∆AВС: cos∠ВСА = $\frac{1^{2} + {(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{2 • 1 • \sqrt{3}}$ = $\frac{3}{2 \sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , тоді ∠ВСА = 30°.

Звідси ∠ВСD = 30° + 30° = 60°.

З ∆BCD: BD = $\sqrt{{BC}^{2} {+ CD}^{2} - 2 BC • CD • \cos 60 °}$ = $\sqrt{1^{2} {+ 3}^{2} - 2 • 1 • 3 • \frac{1}{2}}$ = $\sqrt{1 + 9 - 3}$ = $\sqrt{7}$ (см).