Відповіді на вправи § 11 - 14: 13.24

13.24. Сусідні сторони паралелограма дорівнюють a і b, а його гострий кут дорівнює $\alpha$. Знайдіть модуль різниці квадратів діагоналей паралелограма.

ABCD — паралелограм, AB = CD = а,

ВС = AD = b, $\angle$A = $\alpha$.

Тоді $\angle$B = 180° – $\alpha$. За теоремою косинусів:

3 ∆ABD:

BD² = AB² + AD² – 2АВ • AD • cos А;

BD² = а² + b² – 2ab cos $\alpha$;

з ∆ABC: АС² = AB² + ВС² – 2АВ • ВС • cos(180° – $\alpha$);

АС² = а² + b² – 2ab cos(180° – $\alpha$);

АС² = а² + b² + 2ab cos $\alpha$.

|BD² – АС²| = |а² + b² – 2 ab cos $\alpha$ – а² – b² – 2аb cos $\alpha$| = |–4аb cos $\alpha$| = 4ab cos $\alpha$.

Відповідь: 4аb cos $\alpha$.