Відповіді на вправи § 11 - 14: 13.12 (1-2)

13.12. Розв’яжіть ∆ABC за двома сторонами і кутом, протилежним до однієї з них:

1) $\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin B}$; sin B = $\frac{\mathrm{AC}•\sin A}{\mathrm{BC}}$ = $\frac{5•\sin 80°}{8}$ ≈ $\frac{5•\mathrm{0,9848}}{8}$ ≈ 0,6155;

∠B ≈ 37°59’ або ∠B ≈ 180° – 37°49’ ≈ 141°1’.

Оскільки ∠A + ∠B = 80° + 142°1’ > 180°, то ∠B = 141°1’ не є розв’язком задачі.

∠С = 180° – (∠A + ∠B) ≈ 180° – (80° + 37°59’) ≈ 62°01’.

$\frac{\mathrm{AB}}{\sin C}$ = $\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}$; AB = $\frac{\mathrm{BC}•\sin C}{\sin A}$ = $\frac{8•\sin 62°01\text{'}}{\sin 80°}$ ≈ $\frac{8•\mathrm{0,883}}{\mathrm{0,9848}}$ ≈ 7,17 (см).

Відповідь: ∠B ≈ 37°59’, ∠C ≈ 61°01’, AB ≈ 7,17 см.

2) АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos В; 10² = 7² + ВС² – 2 • 7 • ВС • cos 60°.

Нехай ВС = х см, тоді 100 = 49 + х² – 7х; х² – 7х – 51 = 0; D = 253;

$\sqrt{D}$ ≈ 15,9.

x ≈ $\frac{7+\mathrm{15,9}}{2}$ ≈ 11,45 або x ≈ $\frac{7-\mathrm{15,9}}{2}$ — не задовольняє умові х > 0.

Відповідь: ВС ≈ 11,45 см.

АВ — найменша сторона, тому ∠C — гострий.

cos С = $\frac{{\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{BC}}^2-{\mathrm{AB}}^2}{2\mathrm{AC}•\mathrm{BC}}$ = $\frac{{10}^2+{\mathrm{11,45}}^2-7^2}{2•10•\mathrm{11,45}}$ ≈ $\frac{51+\mathrm{131,1}}{229}$ ≈ 0,7952,

∠C ≈ 37°19’.

∠A = 180° – (∠B + ∠C) ≈ 180° – (60° + 37°18’) ≈ 82°41’.

Відповідь: ∠A ≈ 82°41’, ∠C ≈ 37°19’, ВС ≈ 11,45 см.

3) ВС² = АС² + АВ² – 2АС • АВ • cos А;

2² = 4² + АВ² – 2 • 4 • АВ • cos 61°.

Позначимо АВ = х см, тоді х² – 8х • 0,4848 + 12 = 0;

х² – 3,88x + 12 = 0; D = 3,88² – 4 • 12 < 0. Отже, задача розв’язків не має.

Відповідь: розв’язків немає.

4) АС² = АВ² + ВС² – 2АВ • ВС • cos В; АВ = x см.

З² = x² + 4² – 2 • 4x • cos 30°; х² – 6,928x + 7 = 0;

D ≈ 48 – 28 ≈ 20; x ≈ $\frac{\mathrm{6,93}+\sqrt{20}}{2}$ ≈ 5,70 або x ≈ $\frac{\mathrm{6,93}-\mathrm{4,47}}{2}$ ≈ 1,23.

І випадок. АВ ≈ 5,70 см.

$\frac{\mathrm{BC}}{\sin A}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin B}$; sin A = $\frac{\mathrm{BC}•\sin B}{\mathrm{AC}}$ = $\frac{4•\sin 30°}{3}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0,6667;

∠A ≈ 41°49’;

∠C = 180° – (∠A + ∠B) ≈ 180° – (41°49’ + 30°) ≈ 108°11’.

Відповідь: AB ≈ 5,70 cм, ∠A ≈ 41°49’, ∠C ≈ 108°11’.

II випадок. AB ≈ 1,23 cм.

$\frac{\mathrm{AB}}{\sin C}$ = $\frac{\mathrm{AC}}{\sin B}$; sin C = $\frac{\mathrm{AB}•\sin B}{\mathrm{AC}}$ ≈ $\frac{\mathrm{1,23}•\sin 30°}{3}$ ≈ 0,205; ∠C ≈ 11°49’.

∠A = 180° – (∠B + ∠C) ≈ 180° – (30° + 11°49’) ≈ 138°11’.

Відповідь: AB ≈ 1,23 cм, ∠C ≈ 11°49’, ∠A ≈ 138°11’.