Відповіді на вправи § 11 - 14: 11.42

11.42. Більша діагональ ромба дорівнює d, а один з його кутів

дорівнює 60°. Знайдіть периметр ромба.

ABCD — ромб, $\angle$A = 60°, AC = d.

Якщо О — точка перетину діагоналей,

то AO = $\frac{1}{2}$ AC = $\frac{d}{2}$. У ∆ABD AB = AD,

$\angle$A = 60°, тоді ∆ABD — рівносторонній.

Нехай AB = BD = AB = x cм.

Тоді AO² = $\frac{{2\mathrm{AB}}^2+{2\mathrm{AD}}^2-{\mathrm{BD}}^2}{4}$;

($\frac{d}{2}$)² = $\frac{{2x}^2+{2x}^2-x^2}{4}$; $\frac{3}{4}$x² = $\frac{d^2}{4}$; x² = $\frac{d^2}{4}$ : $\frac{3}{4}$; x = $\frac{d^2}{3}$; x = $\frac{d}{\sqrt{3}}$; x = $\frac{d\sqrt{3}}{3}$.

Отже, AB = BC = CD = AD = $\frac{d\sqrt{3}}{3}$ (cм). Р_ABCD = 4 • $\frac{d\sqrt{3}}{3}$ = $\frac{4\sqrt{3}d}{3}$ (cм).

Відповідь: $\frac{4\sqrt{3}d}{3}$ см.