Вправи: 868

868. Навколо кола радіуса r описано трикутник, кути якого відносяться як 1 : 2 : 3. Знайдіть довжини дуг, кінцями яких є точки дотику.

У ∆АВС ∠В : ∠А : ∠С = 1 : 2 : 3.

Тоді ∠В = х, ∠А = 2х, ∠С = Зх.

х + 2х + Зх = 180; 6х = 180; х = ЗО.

Отже, ∠В = 30°, ∠А = 60°, ∠С = 90°.

О — центр вписаного кола; М, Р, N —

точки дотику. ОМ ⊥ АС, ОР ⊥ АВ, ОN ⊥ ВС — як радіуси кола, прове­

дені в точки дотику. Оскільки сума кутів чотирикутника 360°, то

∠МОN = 90°, ∠МОР = 360° – (90° + 90° + 60°) = 120°,

∠РОN = 360° – (90° + 90° + 30°) = 150°. Отже,

∪MN = πr180 • 90 = πr2; ∪PN = πr180 • 150 = 5πr6; ∪MP = πr180 • 120 =

= 2πr3.

Відповідь: πr2; 5πr6; 2πr3.