Вправи: 832

832. Дві сторони трикутника дорівнюють 3 см і 8 см, а кут між ними – 60°. Знайдіть найменшу висоту трикутника.

Нехай a = 3 см, b = 8 см, ∠C = 60°.

с² = а² + b² – 2аb соs С = З² + 8² – 2 • 3 • 8 • 12 = 9 + 64 – 24 = 49;

с = 49 = 7 (см).

Отже, найменша висота — h_b = 2Sb.

Знайдемо площу трикутника за формулою Герона.

p = 3+8+72 = 182 = 9 (см).

S = 99-39-8(9-7) = 9 •6 •2 = 9 • 22•3 = 63 (см²).

h_b = 2 •638 = 332 (см). Відповідь: 332 см.

Домашня самостійна робота № 4

1. Центральний кут правильного шестикутника дорівнює...

γ₆ = 360°6 = 60°. Відповідь: В. 60°.

2. Довжина кола, радіус якого 6 см, дорівнює...

С = 2π • 6 = 12π (см). Відповідь: Б. 12π см.

3. Знайдіть площу круга, діаметр якого дорівнює 10 см.

r = 12d = 12 • 1 0 = 5 (см). S = πr² = π • 5² = 25π (см²).

Відповідь: Г. 25π см²

4. Чому дорівнює градусна міра внутрішнього кута правильного

вісімнадцятикутника?

α₁₈ = 180°(18-2)18 = 180° •1618 = 160°. Відповідь: В. 160°.

5. Радіус кола дорівнює 9 см. Знайдіть довжину дуги, градусна міра якої 240°.

l_240° = π •9 •240180 = 12π. Відповідь: A. 12π cм.

6. Знайдіть площу сектора круга, радіус якого 6 см, якщо відповідний йому центральний кут дорівнює 100 °.

S₁₀₀ = π •62 •100360 = 10π (см²) Відповідь: 10π см².

7. Зовнішній кут правильного многокутника складає 14 від внутрішнього. Знайдіть, скільки сторін у цього многокутника.

360°n = 14 • 180°(n-2)n; 1440° = 180°n – 360°; 180°n = 1800°; n = 10.

Відповідь: Б. 10.

8. Хорда, довжина якої 82 см, стягує дугу кола, градусна міра якої 90°. Знайдіть довжину кола.

Хорда і радіуси, проведені до її кінців, утворюють прямокутний рівнобедрений трикутник з катетами R і гіпотенузою 82 см. За теоремою Піфагора R² + R² = (82²); 2R² = 128; R² = 64; R = 8

(R > 0). С = 2πR = 2π • 8 = 16π (см). Відповідь: Г. 16π см.

9. Знайдіть площу кільця, розміщеного між двома концентричними

колами, радіуси яких дорівнюють 7 см і 4 см.

S₁ = πR12 = π • 7² = 49π (см²); S₂ = πR22 = π • 4² = 16 π (см²);

S = S₁ – S₂ = 49π – 16π = ЗЗπ (см²). Відповідь: В. ЗЗπ см².

10. Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника,

дорівнює 6 см, а радіус кола, вписаного у правильний многокутник, – З3см. Знайдіть кількість сторін многокутника.

r = R cos 180°n; 33 = 6 cos 180°n; cos 180°n = 336; cos 180°n = 32;

180°n = 30°; n = 180° : 30; n = 6. Відповідь: В. 6.

11. За довжиною дуги, що дорівнює 4π см, знайдіть її хорду, якщо дуга містить 120°.

l₂₀ = πR •120180; 4π = 2πR3; R = 3 •4π2π; R = 6. Отже, R = 6 см. Хорду АВ знайдемо за теоремою косинусів:

AB² = R² + R² – 2R • R • cos120° = 2R² + 2R² • 12 = 3R².

AB = 3 •62 = 63 (см).

Відповідь: Г. 63 см.

12. Кінці хорди, завдовжки 6 см, ділять коло у відношенні 1 : 5. Знайдіть площу меншого з утворених сегментів.

α = 360° : (1 + 5) = 60°. Знайдемо радіус кола з ∆АОВ, де АВ – хорда, О – центр кола.

AB² = R² + R² – 2R • R • cos 60° = R²; 6² = R²; R = 6.

S_сегм = πR2360 • 60 – 12R² • sin 60° = π •626 – 12 • 6² • 32 = 6π – 93 (см²).

Відповідь: Б. (6π – 93) см².

Завдання для перевірки знань № 4 до §§ 15–17

1. Знайдіть центральний кут правильного двадцятикутника.

γ₂₀ = 360°20 = 18°. Відповідь: 18°.

2. Знайдіть довжину кола, діаметр якого дорівнює 6 см.

d = 2r, тоді r = 12d = 12 • 6 = 3 (см). С = 2πr = 2π • 3 = 6π (см). Відповідь: 6π см.

3. Знайдіть площу круга, радіус якого дорівнює 8 дм.

S = πr² = π • 8² = 64π (см²). Відповідь: 64π см².

4. Знайдіть міри внутрішнього та зовнішнього кутів правильного

тридцятикутника.

α_n = 180°(30-2)30 = 180° •2830 = 168°. β_n = 360°30 = 12°.

Відповідь: 168°, 12°.

5. Радіус кола дорівнює 12 см. Знайдіть довжину дуги, що відповідає центральному куту 150 °.

l₁₅₀ = π12 •150180 = 10π (см). Відповідь: 10π cм.

6. Знайдіть площу сектора круга радіуса 4 см, якщо відповідний

йому центральний кут дорівнює 45°.

S_45° = π •42 360 • 45 = 2π (см²) Відповідь: 2π см².

7. Знайдіть кількість сторін правильного многокутника, у якого зовнішній кут на 90° менший за внутрішній.

180°(n-2)n – 360°n = 90°; 180°n-360-360°-90°nn = 0; 90°n = 720°;

n = 8.

Відповідь: 8 сторін.

8. Хорда, довжина якої 43 см, стягує дугу кола, градусна міра якої 120°. Знайдіть довжину кола.

АВ = 43 см, α = 120°, AO = ВО = r.

З ∆АОВ АВ² = АО² + ВО² – 2АО • ВО • cos α;

(43)² = R² + R² – 2R² • cos 120°; 49 = 2R² + R²;

ЗR² = 48; R² = 16; R = 4 (R > 0).

С = 2πR = 2π • 4 = 8π (см).

Відповідь: 8π см.

9. Знайдіть площу круга, вписаного в рівнобічну трапецію з основами 6 см і 10 см.

Рис. див. до № 827.

ABCD — трапеція, ВС ∥ AD, АВ = CD, AD = 10 см, ВС = 6 см. О — центр вписаного кола. Проведемо BF ⊥ AD і CN ⊥ AD — висоти трапеції, BF = CN = 2r. AF = DN = AD-BC2 = 10-62 = 2 (см). Оскільки в трапецію вписане коло, то сума її основ дорівнює сумі бічних сторін: AB = CD = AD+BC2 = 10+62 = 8 (cм). Тоді з ∆ABF

BF = AB2- AF2 = 82- 22 = 64-4 = 60 = 215 (см).

r = 12BF = 12 • 215 = 15 (см). S_кр = πr² = π • (15)² = 15π (см²).

Відповідь: 15π см².

10. Радіус кола, вписаного у правильний многокутник, дорівнює

32 см, а радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, – 6 см. Знайдіть кількість сторін многокутника та його сторону.

Залежність між радіусами вписаного і описаного кіл: r = R • cos 180°n.

Тоді 32 = 6 • cos 180°n; cos 180°n = 326 = 22. 180°n = 45°;

n = 180° : 45°;

n = 4. a₄ = 2r = 2 • 32 = 62 (см).

Відповідь: n = 4, a₄ = 62 см.

11. Кінці хорди, довжиною 62 см, ділять коло у відношенні 1 : 3. Знайдіть площі сегментів, що утворилися.

Див. рис. до № 825.

АВ = 62 см — хорда. Оскільки її кінці ділять коло у відношенні

1 : З, то ∠АОВ = х, тоді другий центральний кут — Зх.

х + Зх = 360; 4х = 360; х = 90°. Отже, ∠АОВ = 90°, а більший центральний кут 360° – 90° = 270°.

З ∆АОВ 2r² = АВ²; 2r² = (62)²; 2r² = 36 • 2; r² = 36; r = 6 (r > 0). Отже, радіус кола — 6 см. Тоді площа кола S = π • 62 = 36π (см²). Площа меншого сегмента S₁ = π • 62360 • 90 – S_∆AOB = 9π – 12 • 6² = 9π –

– 18 (см²). Тоді площа більшого сегмента S₂ = S – S₁ = 36π – (9π –

– 18) = 27π + 18 (см²).

Відповідь: (9π – 18) см², (27π + 18) см².