Вправи: 796

796. Нехай a, b, c – сторони трикутника, P – його периметр. Доведіть, що а² + b² + с² ≥ Р23.

P² = (а + b + с)² = ((а + b) + с)² = (а + b)² + 2(а + b)с + с² = а² +

+ 2ab + b² + 2ас + 2bс + с² = a² + b² + с² + 2аb + 2aс + 2bс.

Для доведення нерівності складемо різницю лівої і правої частин і

доведемо, що вона невід’ємна. а²+b² + с² – p23= 3a2+ 3b2+ 3c2- p23 =

= 3a2+ 3b2+ 3c2- a2- b2- c2- 2ab-2ac-2bc3 =

= 2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab-2ac-2bc3 =

= a2- 2ab+ b2+ a2- 2ac+ c2+ (b2- 2bc+ c2)3 =

= (a-b)2+ (a-c)2+ (b-c)23 ≥ 0.