Вправи: 759

759. Відстані від точки перетину медіан до вершин гострих кутів прямокутного трикутника дорівнюють 673 і 1213 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника.

У ∆АВС ∠С = 90°, AN, ВМ, СР — медіани.

АО = 673 см, ОВ = 1213 см, де О — точка перетину медіан. За властивістю медіан АО = 23АN,

тоді АN = АО • 32 = 673 • 32 = 973 (см). Аналогічно,

ВМ = 32 ВО = 32 • 1213 = 1813 (см). Тоді з трикутників АСN і ВСМ маємо:

АN² = АС² + СN², (973)² = AC² + 14BC², + 5913 = AC² + 14BC²,

ВМ² = СМ² + ВС²; (1813)² = 14AC² + BC²; 4212 = 14AC² + BC²;

10125 = 54 (АС² + ВС²); 10125 = 54АВ²; АВ² = 8100; АВ = 90 (АВ > 0).

Оскільки центр описаного кола навколо прямокутного трикутника лежить на середині гіпотенузи, то R = 12 АВ = 12 • 90 = 45 (см).

Відповідь: 45 см.