Вправи: 332

332. Центр кола, вписаного в рівнобедрений трикутник, ділить висоту, проведену до основи, у відношенні 5 : 3. Знайдіть периметр трикутника, якщо його бічна сторона на 3 см менша від основи.

Нехай ∆АВС — даний рівнобедрений трикутник, ВМ ⊥ АС. О — центр вписаного кола, О ∈ ВМ; ВО : ОМ = 5 : 3.

Проведемо ОК ⊥ ВС. ОМ = ОК = r.

∆ВОК~ ∆ВСМ (прямокутні, ∠В — спільний). Тоді BOBC = OKMC або

BOOK = BCMC. Так як OK = OM, то BOOM = BCMC або BOOM = 53.

Нехай АС = x, тоді МС = 12х, a ВС = х – 3.

Звідси x-312x = 53; Зх – 9 = 2,5x; 0,5x = 9; x = 18.

Отже, АС = 18 (см), АВ = ВС = 18 – З = 15 (см). Р = 18 + 15 + 15 =

= 48 (см).