Вправи: 333

333. Дано трапецію ABCD з основами AD і BC. Бісектриса кута ABC перетинає середню лінію трапеції в точці N, а основу AD – у точці K. Чи можна знайти градусну міру кута ANB? У разі позитивної відповіді знайдіть градусну міру цього кута.

АВСD — трапеція. ВК — бісектриса кута АВС, МР — середня лінія.

Проведемо NZ ∥ АВ. Тоді Z — середина АК; АZ = 12АК.

∠1 = ∠2, бо ВК — бісектриса, ∠3 = ∠2 — внутрішні різносторонні при

ВС ∥ АD і січній ВК. Звідси ∠1 = ∠3, тоді

АВ = АК, завіси АМ = 12АB; АZ = 12АК, тоді AМ = АZ; АМ — спільна для ∆АМN і ∆AZN; МN = 12АZ за властивістю середньої лінії трикутника.

Звідси ∆АMN = ∆АZN, тоді ∠МАN = ∠ZAN, тобто АN — бісектриса ∠ВАD. ∠А + ∠В = 180°; 12∠A + 12∠B = 90°, а саме ∠ВАТ + ∠АВТ = 90°.

З ∆АВN: ∠АNВ = 180° – 90° = 90°.