Вправи: 1165

1165. Медіани AM₁ і BM₂ трикутника ABC дорівнюють 9 см і 15 см відповідно, M – точка перетину медіан, ∠AMB = 120°. Знайдіть довжину третьої медіани.

Розглянемо ∆AMB. MB = 23BM₂ = 23 • 15 =

= 10 (см), АM = 23AM₁ = 23 • 9 = 6 (cм). ∠AMB = 120°.

За теоремою косинусів

AB= AM2+BM2-2AM• BM• cos120° =

= 62+102+2•6•10•12 = 36+100+60 = 196 = 14 (см).

За формулою медіани:

MM₃ = 12 2•AM2+2BM2-AB2 = 12 2•62+2•102-142 =

= 12 72+200-196 = 12 76 = 12 • 219 = 19 (см).

Але ММ₃ – це 13 СМ₃, тоді CM₃ = 319 см.

Відповідь: 319 см.