Вправи: 1149

1149. На колі х² + у² – 26x + 30y + 313 = 0 знайдіть найближчу до точки А(3; 9) точку В. Знайдіть відстань від точки А до точки.

x² + у² – 26x + 30у + 313 = 0; (x² – 26x + 169) – 169 + (у² + 30y +

+ 225) – 225 + 313 = 0; (x – 13)² + (у + 15)² = 81.

Отже, центр кола O(13; –15), радіус R = 9. Точка B знаходиться на перетині кола з відрізком АО.

АО = (13-3)2+(-15-9)2 = 102+242 = 100+576 = 676 =

= 26;

АВ = АО – R = 26 – 9 = 17.

Рівняння прямої АО: x-313-3 = y-9-15-9; x-35 = y-9-12;

–12x + 36 = 5y – 45; 5у = –12x + 81; у = –24x + 16,2. Знайдемо координати точки В. (x – 3)² + (y – 9)² = 289,

y = –2,4x + 16,2.

x² – 6x + 9 + (–2,4x + 7,2)² = 289; x² – 6x +9 + 5,76x² – 34,56x + 51,84 – 289 = 0; 6,76x² – 40,56x – 228,16 = 0; 169x² – 1014x –

– 5704 = 0.

D = 1 028 196 + 3 855 904 = 4 884 100 = 2210².

x = 1014+22102•169 = 12413 = 9713; y = –2,4 • 9713 + 16,2 = –6913.

Відповідь: В(9713; –6913).