Вправи: 1146

1146. При яких значеннях k пряма у = kx – 5 і коло х² + у² = 9:

1) мають одну спільну точку;

2) мають дві спільні точки;

3) не мають спільних точок.

Щоб перевірити, чи мають коло і пряма спільні точки, розв’яжемо систему рівнянь х² + у² = 9, х² + (kх – 5)² = 9,

у = kх – 5; у = kх – 5.

Розглянемо перше рівняння. х² + k²х² – 10kх + 25 – 9 = 0;

(1 + k²)х² – 10kх + 16 = 0.

Отримали квадратне рівняння. D = b² – 4ас = 100k² – 4(1 + k²) •

• 16 = 100k² – 64 – 64k² = 36k² – 64.

1) Рівняння матиме один розв’язок, а пряма і коло — одну спільну точку, якщо D = 0. 36k² – 64 = 0; k² = 436, k = ± 43.

2) Рівняння матиме два розв’язки, а пряма і коло, відповідно, – дві

спільні точки при D > 0. 36k² – 64 > 0; 36k² > 64;

k² > 6436; |k| > 43, k < –43 або k > 43.

3) Рівняння не має розв’язків, а коло і пряма спільних точок, якщо

D < 0. 36k² – 64 < 0; k² < 6436; |k| < 86; –43 < k < 43.

Відповідь: 1) k = ±43; 2) k < –43 або k > 43; 3) –43 < k < 43.