Вправи: 1085

1085. Доведіть, що фігура, яка має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії, має і центр симетрії.

Нехай а і b — дві взаємно перпенди–кулярні осі симетрії деякої фігури, М — деяка її точка.

Тоді існує точка М', симетрична точці М відносно осі а. ММ' ⊥ а, МК = КМ'. Тоді ∆ОМК = ∆ОМ'К за двома катетами (ОК — спільний катет), з рівності трикутників ОМ = ОМ'. Аналогічно існує точка М”, симетрична точці М' відносно осi b.

М"М' ⊥ b, М'Р = РМ". Тоді ∆М'ОР = ∆М"ОР за двома катетами, звідки

ОМ' = ОМ". Отже, ОМ = ОМ', ОМ' = ОМ", тоді ОМ = ОМ".

Точки М, О і М" лежать на одній прямій, бо ∠KОМ' + ∠М'ОР = 90°,

∠МОМ” = 2(∠КОМ' + ∠М'ОР) = 180°. А це означає, що точки М і М"

симетричні відносно точки О.