Вправи: 1057

1057. Спільну хорду двох кіл, що перетинаються, видно з їх

центра під кутами 90° і 60°. Знайдіть радіуси кіл, якщо відстань між їх центрами дорівнює 3 + 1. Скільки випадків слід розглянути?

1 випадок. Нехай r — радіус одного, а R — радіус другого кола. За умовою ∠АО₁В =

= 90°, ∠AO₂B = 60°, O₁O₂ = 3 + 1.

З ∆АО₁В АВ — r2. О₁Е = AB2, O₁E = r22,

оскільки ∆АО₁В — прямокутний і рівнобедрений, і O₁E — його висота, медіана і бісектриса, О₁Е дорівнює половині гіпотенузи АВ.

∆АВО₂ – рівносторонній (АО₂ = АО₂ = R, ∠AO₂B = 60°). AB = R, значить, R = 2O₁E = 2 • r • 22 = r2.

З ∆AEO₂ EO₂ = AO₂ • cos AO₂E = R cos 30° = R32 = r2• 32 = r62.

O₁O₂ = O₁E + O₂E = r62 + r22 = r(6 +2)2.

За умовою r(6 + 2)2 = 3 + 1;

r = 2(3+1)6 + 2 = 2(3 +1)(6 - 2)(6 + 2)(6 -2) = 3• 6-3 • 2+6 - 22 = 32- 6+ 6-22 = 222 = 2. R = r2 = 2 • 2 = 2.

Відповідь: 2 і 2.

ІІ випадок. Нехай r і R відповідно радіуси першого і другого кола. За умовою ∠AO₁B = 90°, ∠AO₂B = 60°, O₁O₂ =

= 3 + 1.

∆AO₁B – прямокутний і рівнобедрений, АВ =

= АО₁ : sin 45° = r : 12 = r2.

AE = 12AB = r22. O₁E – висота і медіана, проведена з вершини прямокутного кута, тоді О₁Е = 12АВ = r22.

∆АO₂В — рівнобедрений, ∠AO₂B = 60°, значить,

∆АO₂В — рівносторонній, АO₂ = АВ, тобто R = r2.

O₂Е — бісектриса кута АO₂В.

З ∆АO₂Е (∠АO₂Е = 30°)

O₂E = AO₂ • cos 30° = R • 32 = r2•3 2 = r62.

O₁O₂ = O₂E – O₁E. Тоді 3 + 1 = r62 – r22; 2(3 + 1) = r(6 – 2);

r = 2(3+1)6 - 2 = 2(3 +1)(6+ 2)(6- 2)(6+2) = 3• 6+6 +6+ 22 =

= 32+26+22 = 22 + 6. R = r2 = (22 + 6) 4 + 23.

Відповідь: 22 + 6; 4 + 23.

Домашня самостійна робота № 5

1. На якому з малюнків 207–210 точки M і M' симетричні відносно прямої а?

На мал. 209. Відповідь: В.

2. У яку точку при повороті навколо точки O на кут 90° проти годинникової стрілки переходить точка N (мал. 211).

Відповідь: Б. М.

3. Паралельне перенесення задано формулами: х' = х – 1; у' = у +

+ 3. У яку точку при цьому паралельному перенесенні переходить точка Т(2; –5):

Відповідь: Г. Т'(1; –2).

4. При переміщенні трикутник ABC перейшов у трикутник AB'C'. Знайдіть кут A' трикутника A'B'C', якщо трикутник ABC є рівнобедреним і його кут при вершині C дорівнює 140.

У ∆ABC ∠А = ∠В = (180° – ∠С) : 2 = (180° – 140°) : 2 = 20°. При переміщенні кути переходять в рівні їм кути. Тому ∠A' = ∠А = 20°.

Відповідь: А. 20°.

5. Укажіть координати точки, що симетрична точці M (–1; 5) відносно початку координат.

Відповідь: Г. (1; –5).

6. Медіани двох правильних трикутників відносяться як 2 : 7. Як відносяться площі цих трикутників?

S₁ : S₂ = 2² : 7² = 4 : 49.

Відповідь: В. 4 : 49.

7. Точки A(–2; у) і B(x; 5) симетричні відносно осі абсцис. Знайдіть x і у.

Відповідь: В. х = –2, у = –5.

8. При паралельному перенесенні точка A (–2; 3) переходить у точку A (4; 0). У яку точку при такому паралельному перенесенні перейде точка B(3; –1)?

4 = –2 + а, а = 6; 0 = 3 + b, b = –3. Формули паралельного перенесення: х' = х + 6, у' = у – 3. Тоді х' = 3 + 6 = 9; у' = –1 – 3 =

= –4. Отже, В'(9; –4).

Відповідь: Б. В'(9; –4).

9. Сторони п’ятикутника відносяться як 3 : 4 : 5 : 6 : 7. Знайдіть найменшу сторону подібного йому п’ятикутника, периметр якого дорівнює 75 м.

Сторони подібних многокутників відносяться однаково: 3 : 4 : 5 : 6 :

: 7. Нехай сторони другого многокутника Зх см, 4х см, 5х см, 6х см, 7х см. Тоді Зх + 4х + 5х + 6х + 7х = 75; 25х = 75; х = 3. Найменша сторона 3 • 3 = 9 (см).

Відповідь: Г. 9 см.

10. Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій x – 2у – 10 = 0 відносно початку координат.

х – 2у – 10 = 0, 2у = x – 10; у = x-102.

Якщо х = 4, то y = 4-102 = –3. А(4; –3).

Якщо х = 12, то у = 12-102 = 1. В(12; 1).

Координати точок, симетричних точкам А і В відносно початку координат: А'(–4; 3), В'(–12; –1). Рівняння прямої А'В': x+4-12+4 =

= y-3-1-3; x+4-8 = y-3-4; х + 4 = 2y – 6; х – 2у + 10 = 0.

Відповідь: А. х – 2y + 10 = 0.

11. Виконали паралельне перенесння прямої 3x – у = 0. Запишіть рівняння цієї прямої, якщо вона проходить через точку M (–1; 4).

Зх – у =0, у = Зх. При паралельному перенесенні пряма переходить

в паралельну їй пряму, тому рівняння шуканої прямої у = Зх + с. Ця

пряма проходить через точку M(–1; 4), тоді 4 = 3 • (–1) + с, звідси

с = 7. Маємо: у = Зх + 7, Зх – у + 7 = 0.

Відповідь: Б. Зх – у + 7 = 0.

12. Периметри двох подібних трикутників відносяться як 2 : 3, а сума їх найбільших сторін дорівнює 30 см. Знайдіть периметр другого трикутника, якщо сторони першого відносяться як 4 : 5 : 6.

Сторони подібних трикутників відносяться однаково: як 4 : 5 : 6. Нехай сторони першого трикутника а₁, b₁, с₁; другого — а₂, b₂, с₂. Тоді P1P2 = C1C2 = 23. За умовою с₁ + с₂ = 30 см, тоді а = ЗО – с₂ (см). Маємо: C1C2 = 23; 30- C2C2 = 23; 90 – 3c₂ = 2c₂; 5с₂ = 90. c₂ = 18 (см).

а₂ = 186 • 4 = 12 (см), b₂ = 186 • 5 = 15 (см). Р₂ = 18 + 12 + 15 =

= 45 (см).

Відповідь: В. 45 см.

Завдання перевірки знань № 5 до §§ 18—24

1. Дано пряму і точку M, що їй не належить. Побудуйте точку M', симетричну точці M відносно прямої а.

Див. § 19 мал. 162.

2. У яку точку при повороті навколо точки O на кут 90° проти годинникової стрілки перейде точка A (мал. 212)?

Точка А(2; 0) перейде в точку С(0; 2).

3. Паралельне перенесення задано формулами: x' = x + 3, у' = у –

– 2. У яку точку при цьому паралельному перенесенні переходить точка L(–3; 8)?

х' = х + 3, у’ = у – 2, L(–3 ; 8).

х' = –3 + 3 = 0, у' = 8 – 2 = 6. L'(0; 6).

Відповідь: L'(0; 6).

4. При переміщенні трикутник ABC перейшов у трикутник А'В'С'. Знайдіть кути трикутника А'В'С', якщо трикутник ABC рівнобедрений з основою AC, а кут дорівнює 40°

У ∆АВС ∠А = ∠С = (180° – ∠В) : 2 = (180° – 40°) : 2 = 70°. ∆АВС =

= ∆А'В’С'. Тоді ∠А' = ∠A = 70°, ∠B' = ∠B =40°, ∠C' = ∠C = 70°.

Відповідь: 70°, 70°, 40°.

5. Дано відрізок MN, M(–4; 2), N(–2; 5). Побудуйте відрізок, симетричний відрізку MN відносно початку координат, та знайдіть координати його кінців.

Відповідь: M'(4; –2), N'(2; –5).

6. Площі двох правильних трикутників відносяться як 9 : 4. Як відносяться висоти цих трикутників?

Правильні трикутники подібні. Нехай h1 і h2 – відповідні висоти трикутників. Тоді (h1h2)³ = 94 = (32)², звідки h1h2 = 32.

Відповідь: 3 : 2.

7. Точки A(x; –6) і B(4; у) симетричні відносно осі ординат. Знайдіть x і у.

Точки, симетричні відносно осі ординат, лежать на прямій, перпендикулярній осі ординат, на однаковій відстані від осі. Тому їх абсциси протилежні, а ординати — рівні. Отже, х =–4, у = –6.

Відповідь: х = –4, у = –6.

8. Сторони чотирикутника відносяться як 2 : 3 : 4 : 6. Знайдіть

сторони подібного йому чотирикутника, периметр якого дорівнює

45 см.

Сторони подібних чотирикутників відносяться однаково. Позначимо

шукані сторони 2х см, Зх см, 4х см і 6х см. Тоді 2х + Зх + 4х + 6х =

= 45; 15х = 45; х = 3. Отже, сторони другого трикутника: 2 • 3 =

= 6 (см), З • 3 = 9 (см), 4 • 3 = 12 (см), 6 • 3 = 18 (см).

Відповідь: 6 см, 9 см, 12 см, 18 см.

9. Запишіть рівняння прямої, яка симетрична прямій 3х – 4у – 24 = 0 відносно початку координат.

Зх – 4у – 24 = 0, 4у = Зх – 24, у = 3x-244.

Якщо х = 0, то у = -244 = –6. А(0; –6).

Якщо х = 4, то y = 12-244 = –3. В(4; –3).

Точки, симетричні точкам А і В відносно початку координат: А'(0; 6),

В'(–4; 3).

Рівняння прямої А’В': x-4 = y-63-6; x-4 = y-6-3; –Зх = –4у + 24; Зх – 4y +

+ 24 = 0.

Відповідь: Зх – 4у + 24 = 0.

10. Периметри двох подібних п’ятикутників відносяться як 3 : 4, а сума їх найменших сторін дорівнює 28 см. Знайдіть сторони кожного з п’ятикутників, якщо сторони одного з них відносяться як 2 : 5 : 6 :

: 7 : 9.

Сторони п’ятикутника, подібного даному, відносяться так само, тобто

2 : 5 : 6 : 7 : 9. Нехай а₁, а₂, а₃, а₄, а₅ — сторони першого п’ятикутника; b₁, b₂, b₃, b₄, b₅ — сторони другого. a₁ і b₁ — найменші сторони. Тоді їх відношення дорівнює відношенню периметрів:

a1b1 = 34; a₁ = 33b₁.

За умовою a₁ + b₁ = 28 см; маємо рівняння:

34b₁ + b₁ = 28; 74b₁ = 28; b₁ = 28 • 47; b₁ = 16 (см). Тоді а₁ = 34 • 16 =

= 12 (см).

b₂ = b12 • 5 = 162 • 5 = 40 (см), а₂ = 34 • 40 = 30 (см);

b₃ = b12 • 6 = 162 • 6 = 48 (см), а₃ = 34 • 48 = 36 (см);

b₄ = 162 • 7 = 56 (см), а₄ = 34 • 56 = 42 (см);

b₅ = 162 • 9 = 72 (см), а₅ = 34 • 72 = 54 (см).

Відповідь: 12 см, 30 см, 36 см, 42 см, 54 см і 16 см, 40 см, 48 см,

56 см, 72 см.

11. Виконали паралельне перенесення прямої 2х + у – 8 = 0.

Запишіть рівняння прямої, яку при цьому отримали, якщо вона проходить через точку А(5; 1).

Отримана пряма паралельна даній, тому їх кутові коефіцієнти рівні.

2х + у – 8 =0, у = –2х + 8 — дана пряма.

у = –2х + с — шукана пряма. За умовою вона проходить через точку

А(5; 1), тому її координати задовольняють рівняння прямої: 1 = –2 •

• 5 + с, звідки с = 11. Рівняння шуканої прямої: у = –2х + 11, 2х +

+ у – 11 = 0.

Відповідь: 2х + у – 11 = 0.