Відповіді на вправи підручника: 971

971. Виконайте поворот рівнобедреного прямокутного трикутника з катетом 1 см навколо вершини прямого кута на 45°. Знайдіть площу

спільної частини даного трикутника і трикутника, який одержали

при повороті.

Розв’язання

Спільна частина ∆ABC і A’B’C’ – чотирикутник CKDЕ.

СК – бісектриса, медіана і висота ∆ABC.

СК = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (за теоремою Піфагора).

СЕ – бісектриса, медіана і висота ∆A’B’C’.

СЕ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ (за теоремою Піфагора).

∆CKD = ∆CED (за гіпотенузою і катетом).

S_CKDE = 2 • S_CED = 2 • $\frac{1}{2}$ • CE • ED = CE • ED.

Нехай KD = DE = x, тоді B’D = x$\sqrt{2}$;

B’D + DE = B’E; B’E = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Складемо рівняння: x$\sqrt{2}$ + x = $\frac{\sqrt{2}}{2}$; x(1 + $\sqrt{2}$) = $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

x = $\frac{\sqrt{2}}{2(1+\sqrt{2})}$ = $\frac{\sqrt{2}(1-\sqrt{2})}{2(1-2)}$ = $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$; ED = $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ (см).

S_CKED = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ • $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$ = $\frac{2\sqrt{2}-2}{4}$ = $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$ (см²).

Відповідь: $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$ см².