Відповіді на вправи підручника: 789

789. Спільна хорда двох кіл стягує дуги в 60° і 120°. Знайдіть

відношення довжин цих кіл.

Дано: K₁(O₁; R₁) X K₂(O₂; R₂); в т. A і В; n₁ = 120°; n₂ = 60°.

Знайти: $\frac{{С}_1}{{С}_2}$.

Розв'язання

Знайдемо відношення $\frac{R_1}{R_2}$. K – середина AB.

∆O₁KA ($\angle$K = 90°): R₁ = $\frac{\mathrm{AK}}{\sin \angle {\mathrm{AO}}_{1}K}$.

$\angle$AO₁K = $\frac{1}{2}\angle$AO₁B = $\frac{1}{2}$ • 120° = 60°; R₁ = $\frac{\mathrm{AK}}{\sin 60°}$ = $\frac{2\mathrm{AK}}{\sqrt{3}}$.

∆O₂KA ($\angle$K = 90°): R₂ = $\frac{\mathrm{AK}}{\sin \angle {\mathrm{AO}}_{2}K}$.

$\angle$AO₂K = $\frac{1}{2}$ $\angle$AO₂B = $\frac{1}{2}$ • 60° = 30°; R₂ = $\frac{\mathrm{AK}}{\sin 30°}$ = 2AK.

Маємо: $\frac{R_1}{R_2}$ = $\frac{2\mathrm{AK}}{\sqrt{3}•2\mathrm{AK}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$; $\frac{C_1}{C_2}$ = $\frac{{2\pi R}_1}{{2\pi R}_2}$ = $\frac{2\pi }{2\pi \sqrt{3}}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Відповідь: 1 : $\sqrt{3}$.