Відповіді на вправи підручника: 749

749. Найпростіше мансардне покриття утворює у вертикальному перерізі половину правильного восьмикутника (мал. 230). Знайдіть ширину перекриття BD, сторону восьмикутника та висоту мансардної

кімнати ABCDE, якщо AE = 6 м.

Нехай О – центр півкола, описаного навколо половини правильного восьмикутника. АО = EO. Якщо АЕ = 6 м, то радіус кола R = $\frac{\mathrm{АЕ}}{2}$;

R = $\frac{6}{2}$ = 3 (м). Центральні кути $\angle$АОВ = $\angle$EOD = $\frac{360°}{8}$ = 45°.

Тоді $\angle$BOD = 180° – 2 • 45° = 90°.

Із ∆BOD ($\angle$BOD = 90°): BD² = BO² + DO², BD² = 2 • 3², BD² = 18, BD = 3$\sqrt{2}$ м $\approx$ 4,2 м.

Висота кімнати h – це висота ∆BOD, проведена до гіпотенузи. Оскільки ∆BOD рівнобедрений, то ця висота є медіаною, а отже, дорівнює половині гіпотенузи, h = $\frac{\mathrm{BD}}{2}$, h $\approx$ $\frac{\mathrm{4,2}}{2}$ = 2,1 (м).

Iз ∆АОВ маємо:

AB² = AO² + BO² – 2AO • BO • cos $\angle$AOB;

AB² = 2BO² – 2BO² • cos 45°,

AB² = 2 • 9 – 2 • 9 • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 18 – 9$\sqrt{2}$ $\approx$ 5,272, AB $\approx$ 2,3 м.

Відповідь: ширина 4,2 см, висота 2,1 см, сторона 2,3 м.