Відповіді на вправи підручника: 255 (1)

255. Знайдіть довжини хорд кола з кінцями на осях координат, якщо коло задано рівнянням:

1) Дано: (х – 3)² + (у – 1)² = 9 – коло; АВ – хорда, А ∈ Ох, В ∈ Оу.

Знайти: АВ.

Розв’язання

Нехай А(х; 0), В(0; у).

З рівняння кола маємо:

С(3; 1) – центр кола, СА = СВ = 3.

СА² = (x – 3)² + (0 – 1)² = (x – 3)² + 1;

CB² = (0 – 3)² + (y – 1)² = 9 + (y – 1)²;

(x – 3)² + 1 = 9; x² – 6x + 9 + 1 = 9; x² – 6x + 1 = 0.

9 + (y – 1)² = 9; (y – 1)² = 0; y = 1.

D = (–6)² – 4 • 1 • 1 = 32 = (4$\sqrt{2}$)²;

x₁ = $\frac{6-4\sqrt{2}}{2}$ = 3 – 2$\sqrt{2}$; x₂ = $\frac{6+4\sqrt{2}}{2}$ = 3 + 2$\sqrt{2}$.

Отже, А(3 – 2$\sqrt{2}$; 0) або (А(3 + 2$\sqrt{2}$; 0), В(0; 1).

АВ = $\sqrt{(0-(3-2\sqrt{2}){)}^2+{(1-0)}^2}$ = $\sqrt{9-12\sqrt{2}+8+1}$ = $\sqrt{18-12\sqrt{2}}$;

АВ = $\sqrt{0-(3+2\sqrt{2}){)}^2+{(1-0)}^2}$ = $\sqrt{9+12\sqrt{2}+8+1}$ = $\sqrt{18+12\sqrt{2}}$.

Відповідь: $\sqrt{18-12\sqrt{2}}$; $\sqrt{18+12\sqrt{2}}$.

2) Дано: (х – 1)² + (у + 2)² = 25 – коло; АВ – хорда, А ∈ Ох, В ∈ Оу.

Знайти: АВ.

Розв’язання

Нехай А(х; 0), В(0; у).

З рівняння кола маємо: С(1; –2) – центр кола, СА = СВ = 5;

СА² = (х – 1)² + (–2 – 0)² = (х – 1)² + 4;

СВ² = (0 – 1)² + (у + 2)² = 1 + (у + 2)²;

1) (х – 1)² + 4 = 25;

х² – 2х + 1 + 4 – 25 = 0;

х² – 2х – 20 = 0;

D = (–2)² – 4 • 1 • (–20) = 84 = (2$\sqrt{21}$)²;

x₁ = $\frac{2-2\sqrt{21}}{2}$ = 1 – $\sqrt{21}$; x₂ = $\frac{2+2\sqrt{21}}{2}$ = 1 + $\sqrt{21}$.

Отже, А(1 – $\sqrt{21}$; 0) або А(1 + $\sqrt{21}$; 0).

2) 1 + (у + 2)² = 25;

1 + y² + 4y + 4 – 25 = 0;

y² + 4y – 20 = 0;

D = 4² – 4 • 1 • (–20) = 96 = (4$\sqrt{6}$)²;

y₁ = $\frac{-4-4\sqrt{6}}{2}$ = –2 – 2$\sqrt{6}$; y₂ = $\frac{-4+4\sqrt{6}}{2}$ = –2 + 2$\sqrt{6}$.

Отже, В(0; –2 – 2$\sqrt{6}$) або В(0; –2 + 2$\sqrt{6}$).

AB = $\sqrt{{(0-1+\sqrt{21})}^2+{(-2-2\sqrt{6}-0)}^2}$ = $\sqrt{1^2-2\sqrt{21}+21+4+8\sqrt{6}+24}$ = $\sqrt{50-2\sqrt{21}+8\sqrt{6}}$;

AB = $\sqrt{{(0-1+\sqrt{21})}^2+{(-2+2\sqrt{6}-0)}^2}$ = $\sqrt{1^2-2\sqrt{21}+21+4-8\sqrt{6}+8}$ = $\sqrt{50-2\sqrt{21}-8\sqrt{6}}$;

AB = $\sqrt{{(0-1-\sqrt{21})}^2+{(-2-2\sqrt{6}-0)}^2}$ = $\sqrt{1+2\sqrt{21}+21+4+8\sqrt{6}+8}$ = $\sqrt{50+2\sqrt{21}+8\sqrt{6}}$;

AB = $\sqrt{{(0-1-\sqrt{21})}^2+{(-2+2\sqrt{6}-0)}^2}$ = $\sqrt{1+2\sqrt{21}+21+4-8\sqrt{6}+8}$ = $\sqrt{50+2\sqrt{21}-8\sqrt{6}}$.

Відповідь: $\sqrt{50-2\sqrt{21}+8\sqrt{6}}$; $\sqrt{50+2\sqrt{21}+8\sqrt{6}}$; $\sqrt{50+2\sqrt{21}-8\sqrt{6}}$.