Відповіді на вправи підручника: 253 (1)

253. Складіть рівняння кола, що проходить через точки:

1) (4; 0), (0; 2), (4; 2); 2) (–1; 5), (–2; –2), (5; 5).

1) Дано: (4; 0), (0; 2) і (4; 2) ∈ колу. Скласти рівняння кола

Розв’язання

Нехай О(х; у) – центр кола, А(4; 0), В(0; 2), С(4; 2);

R = AO = $\sqrt{{(x-4)}^2+{(y-0)}^2}$ = $\sqrt{{(x-4)}^2+y^2}$;

AO² = (x – 4)² + y²;

BO² = (x – 0)² + (y – 2)² = x² + (y – 2)²;

CO² = (x – 4)² + (y – 2)²;

BO² = CO²: x² + (y – 2)² = x² – 8x + 16 + (y – 2)²;

8x = 16;

x = 2.

AO² = CO²: (x – 4)² + y² = (x – 4)² + y² – 4y + 4;

4y = 4; y = 1.

Отже, О(2; 1).

R = $\sqrt{{(2-4)}^2+1^2}$ = $\sqrt{4+1}$ = $\sqrt{5}$.

Рівняння кола: (x – x₀)² + (y – y₀)² = R²;

(x – 2)² + (y – 1)² = ($\sqrt{5}$)².

Відповідь: (x – 2)² + (y – 1)² = 5.

2) Дано: (–1; 5), (–2; –2), (5; 5) ∈ колу. Скласти рівняння кола

Розв’язання

Нехай О(х; у) – центр кола, А(–1; 5), В(–2; –2), С(5; 5);

R = AO = $\sqrt{{(x+1)}^2+{(y-5)}^2}$;

AO² = (x + 1)² + (y – 5)²;

BO² = (x + 2)² + (y + 2)²;

CO² = (x – 5)² + (y – 5)²;

AO² = CO²: x² + 2x + 1 + (y – 5)² = x² – 10x + 25 + (y – 5)²;

12x = 24; x = 2.

AO² = BO²: x² + 2x + 1 + y² – 10y + 25 = x² + 4x + 4 + y² + 4y + 4;

–14y = 2x – 18|: (–2);

7y = –x + 9;

y = $\frac{9-x}{7}$ = $\frac{9-2}{7}$ = $\frac{7}{7}$ = 1.

Отже, О(2; 1).

R = $\sqrt{{(2+1)}^2+{(1-5)}^2}$ = $\sqrt{9+16}$ = $\sqrt{25}$ = 5;

Рівняння кола: (x – x₀)² + (y – y₀)² = R²;

(x – 2)² + (y – 1)² = 5².

Відповідь: (х – 2)² + (у – 1)² = 25.