Відповіді на вправи підручника: 252 (1)

252. Складіть рівняння кола, що проходить через початок координат і точки: 1) (8; 0) і (0; 6); 2) (0; 16) і (12; 0).

1) Дано: (8; 0), (0; 6) $\in$ колу; (0; 0) $\in$ колу. Скласти рівняння кола.

Розв’язання

Нехай О(x; y) – центр кола,

A(0; 0), B(8; 0), C(0; 6).

R = AO = $\sqrt{{(x-0)}^2+{(y-0)}^2}$ = $\sqrt{x^2+y^2}$

AO² = x² + y²;

BO² = (x – 8)² + (y – 0)² = (x – 8) + y²;

CO² = (x – 0)² + (y – 6)² = x² + (y – 6)²;

AO² = BO²: x² + y² = x² – 16x + 64 + y²;

16x = 64;

x = 4.

AO² = CO²: x² + y² = x² + y² – 12y + 36;

12y = 36;

y = 3. Отже, О(4; 3).

R = $\sqrt{4^2+3^2}$ = $\sqrt{25}$ = 5;

Рівняння кола: (x – x₀)² + (y – y₀)² = R²;

(x – 4)² + (y – 3)² = 5².

Відповідь: (x – 4)² + (y – 3)² = 25.

2) Дано: (0; 0), (0; 16) і (12; 0) $\in$ колу. Скласти рівняння кола.

Розв’язання

Нехай О(x; y) – центр кола,

A(0; 0), B(0; 16), C(12; 0).

R = AO = $\sqrt{{(x-0)}^2+{(y-0)}^2}$ = $\sqrt{x^2+y^2}$;

AO² = x² + y²;

BO² = (x – 0)² + (y – 16)² = х² + (y – 16)²;

CO² = (x – 12)² + (y – 0)² = (x – 12)² + y²;

AO² = BO²: x² + y² = x² + y² – 32y + 256;

132y = 256;

y = 8.

AO² = CO²: x² + y² = x² – 24x + 144 + y²;

24x = 144;

x = 6. Отже, О(6; 8).

R = $\sqrt{6^2+8^2}$ = $\sqrt{100}$ = 10;

Рівняння кола: (x – x₀)² + (y – y₀)² = R²;

(x – 6)² + (y – 8)² = 10².

Відповідь: (x – 6)² + (y – 8)² = 100.