Відповіді на вправи підручника: 1016

1016. План земельної ділянки (мал. 356) в масштабі 1 : 200 виконано на аркуші 407 × 288 мм. Чи поміститься на аркуші 288 × 203 мм цей план у масштабі 1 : 300?

Коефіцієнт подібності k = $\frac{200}{300}$ = $\frac{2}{3}$.

Якщо розміри плану змінити на k разів то аркуш буде мати розміри

407 • $\frac{2}{3}$ = 271$\frac{1}{3}$ (мм); 203 • $\frac{2}{3}$ = 135$\frac{1}{3}$ (мм).

Розміри плану 273$\frac{1}{3}$ × 135$\frac{1}{3}$, тобто план поміститься на аркуші 2

88 × 203 мм.

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 2

1. Знайдіть відстань між точками А(1; 2) і В(2; 1).

АВ = $\sqrt{{(1-2)}^2+{(2-1)}^2}$ = $\sqrt{1^2+1^2}$ = $\sqrt{2}$.

Відповідь: В.

2. Які координати має середина відрізка МН, якщо М(–3; 0), Н(5; 6)?

Координати середини відрізка ($\frac{-3+5}{2}$; $\frac{0+6}{2}$), (1; 3).

Відповідь: Г.

3. ABCD — паралелограм. Який вектор дорівнює сумі векторів $\overline{\mathrm{ВА}}$ і $\overline{ВС}$?

За праилом паралелограма

$\overline{\mathrm{ВА}}$ + $\overline{ВС}$ = $\overline{\mathrm{BD}}$.

Відповідь: Б.

4. Які координати має одиничний вектор $\overline{а}$, перпендикулярний до вектора $\bar{b}$ (2; 2)?

Нехай координати шуканого вектора $\overline{а}$(а₁; а₂). За умовою від одиничний, тому (а₁)² + (а₂)² = 1². Такими можуть бути лише вектори з координатами ($\frac{\sqrt{2}}{2}$; $\frac{\sqrt{2}}{2}$) і ($\frac{\sqrt{2}}{2}$; –$\frac{\sqrt{2}}{2}$) Заданий вектор $\bar{b}$ (2; 2) і вектор $\overline{а}$ перпендикулярні, тоді їх скалярний добуток $\bar{a}$ • $\bar{b}$ = 0. Отже, $\overline{а}$ • $\bar{b}$ = 2 • a₁ + 2 • a₂ = 0, звідки а₁ = –а₂. Тоді шуканий вектор $\overline{а}$ ($\frac{\sqrt{2}}{2}$; –$\frac{\sqrt{2}}{2}$).

Відповідь: Г.

5. Обчисліть tg²α– sin²α · tg²α, якщо sinα = 0,5.

tg²α – sin² αtg² α = tg² α(1 – sin² α) = $\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$ • cos²α = sin²α. Якщо

sin α = 0,5, то sin²α = (0,5)² = 0,25.

Відповідь: Г.

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 3

1. Знайдіть сторону b трикутника АВС, якщо: с = 1 см, ∠B = 45°,

∠C = 30°.

Якщо в ∆АВС задані сторона с = 1 см і кути ∠В = 45°, ∠С = 30°, то

$\frac{b}{\mathrm{sinB}}$ = $\frac{c}{\mathrm{sinC}}$, звідки b = $\frac{c\mathrm{sinB}}{\sin C}$, b = $\frac{1•\sin 45°}{\sin 30°}$ = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ • $\frac{1}{2}$ = $\sqrt{2}$ (см).

Відповідь: В.

2. Знайдіть площу трикутника, якщо його сторони дорівнюють 10 см, 10 см, 12 см.

S = $\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, p = $\frac{a+b+c}{2}$; p = $\frac{10+10+12}{2}$ = 16 (см).

S = $\sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)}$ = $\sqrt{16•6•6•4}$ = 4 • 6 • 2 = 48 (см²).

Відповідь: В.

3. Знайдіть площу рівнобедреного трикутника, якщо його бічна сторона дорівнює 2 см, а кут між бічними сторонами — 30°.

Якщо бічна сторона трикутника 2 см, то і друга 2 см, а якщо кут між ними 30°, то S = $\frac{1}{2}$a² sinγ, S = $\frac{1}{2}$ • 2² • sin 30° = 2 • $\frac{1}{2}$ = 1 (см²).

Відповідь: Г.

4. Знайдіть площу паралелограма, якщо його сторони дорівнюють

2 см і 4 см, а один з кутів — 45°.

S = ab sinα, S = 2 • 4 • sin 45° = 8 • $\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 4$\sqrt{2}$ (см²).

Відповідь: А.

5. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника, якщо його сторони дорівнюють 4 см, 7 см і 9 см.

R = $\frac{\mathrm{abc}}{4S}$. Знайдемо S: p = $\frac{4+7+9}{2}$ = 10 (см),

S = $\sqrt{10(10-4)(10-7)(10-9)}$ = $\sqrt{10•6•3•1}$ = $\sqrt{180}$ = 6$\sqrt{5}$ (см²). Тоді R = $\frac{4•7•9}{4•6\sqrt{5}}$ = $\frac{21}{2\sqrt{5}}$ = $\frac{21\sqrt{5}}{10}$ (см).

Відповідь: Г.

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 4

1. Знайдіть кут правильного n–кутника, якщо n = 6.

α = $\frac{180°(n-2)}{n}$. Якщо n = 6, то α = $\frac{180°•4}{6}$ = 120°.

Відповідь: В.

2. Знайдіть радіус кола, довжина якого дорівнює 20π см.

С = 2πR, звідки R = $\frac{C}{2\pi }$. Якщо С = 20π см, то R = $\frac{20\pi }{2\pi }$ = 10 (см).

Відповідь: Г.

3. Знайдіть довжину кола, якщо площа круга дорівнює 16π см².

S = πR², R = $\sqrt{\frac{S}{\pi }}$, тоді С = 2π • $\sqrt{\frac{S}{\pi }}$ = 2$\sqrt{\pi S}$. Якщо S = 16π см², то

с = 2$\sqrt{\pi •16\pi }$ = 2 • 4π = 8π (см).

Відповідь: Г.

4. Знайдіть довжину дуги кола радіуса 9 см, яка відповідає центральному куту 20°.

l = $\frac{\pi \mathrm{Rn}°}{180°}$. Якщо R = 9 cм, n° = 20°, то l = $\frac{\pi •9•20}{180°}$ = π (см).

Відповідь: В.

5. Знайдіть радіус кола, вписаного в правильний шестикутник, якщо радіус описаного кола дорівнює 8$\sqrt{3}$ см.

У правильного шестикутника зі стороною а R = a, r = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$, тоді

r = $\frac{R\sqrt{3}}{2}$. Якщо R = 8$\sqrt{3}$ см, то r = $\frac{8\sqrt{3}•\sqrt{3}}{2}$ = 4 • 3 = 12 (см).

Відповідь: Г.

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇЛИ МАТЕРІАЛ РОЗДІЛУ 5

1. О — точка перетину діагоналей прямокутника АВСD. Назвіть точку, симетричну точці А відносно точки О.

А, О, С лежать на одній прямій і АО = СО. Отже, т. С.

Відповідь: А.

2. АВСD — ромб. Назвіть точку, симетричну точці В відносно прямої АС.

BD ⊥ AC, BD = OD (O – точка перетину діагоналей), тоді симетрична точка D.

Відповідь: Б.